Характеристика методов оптимизации

Решение задачи управления предполагает активное воздействие на технологический процесс с целью достижения максимальной его эффективности. Для оценки эффективности функционирования технологических процессов вводят показатели качества, количественно выражаю­щие степень достижения определенной цели.

Формализация задачи управления качеством сводит ее к выработке критерия оптимальности для функцио­нирования технологического процесса. В целом ка­чество работы объекта характеризуется численным значением критерия, используемого для расчета управляющих воздейст­вий и зависящего от значений технологических параметров.

Общая формулировка задачи параметрической оптимизации сводится к нахождению набора параметров х = (х ₁, х ₂, …, х_n), который является оптимальным в смысле некоторого критерия (прил. В). В простейшем случае такая задача заключается в минимизации или максимизации некоторой (целевой) функции без каких-либо ограничений. В более сложных ситуациях на отмеченные параметры могут быть наложены некоторые ограничения в виде равенств, неравенств и параметрических границ.

Формулировка задачи параметрической оптимизации представляется следующим образом:

требуется найти вектор х, обеспечивающий

min f ( x ) при ограничениях

g_i(x) = 0 (i = 1, 2, …, m_e) (6.1)

g_i(x) £ 0 (i = m_e +1, …, m)

x _L£ x £ x _U,

где х - вектор оптимизируемых параметров (х Î Rⁿ); f( x ) - скалярная целевая функция (критерий) векторного аргумента (f( x ): Rⁿ ® R); g_i( x ) - также некоторые скалярные функции векторного аргумента; x _L, x _U - соответственно нижняя и верхняя границы области изменения аргумента. Заметим, что задача максимизации сводится к задаче минимизации заменой целевой функции f( x ) на - f( x ).

Эффективность и точность решения данной задачи зависит как от числа параметров и ограничений, так и от вида целевой функции. При линейных ограничениях и линейной целевой функции приведенная задача называется задачей линейного программирования; при линейных ограничениях, но при квадратичной (по аргументу) целевой функции - задачей квадратичного программирования; в общем случае - это задача нелинейного программирования.

Существующие алгоритмы безусловной оптимизации могут быть разделены на две группы: алгоритмы, базирующиеся на использовании производных минимизируемой функции - градиентные и методы второго порядка; и безградиентные алгоритмы, использующие только значения функции.

В задачах оптимизации с ограничениями обычный подход в нахождении решения состоит в замене исходной задачи на задачу без ограничений (задачу безусловной оптимизации), например с помощью метода штрафных функций. В настоящее время, однако, более эффективным считается применение так называемых уравнений Куна-Таккера, при этом получаемая задача может быть решена любыми методами квадратичного программирования.

Качество работы реального объекта или системы часто оценивается совокупностью критериев (показателей качества), представляющихся одинаково значимыми. Это приводит к задаче оптимизации с векторной целевой функцией F( x ) = {F ₁ ( x ), F ₂ ( x ),..., F_k( x )}, получившей название задачи многокритериальной или векторной оптимизации. Решение подобной задачи сводится к нахождению множества точек неулучшаемых решений (Парето-множеств), для чего используется метод взвешенной суммы частных критериев или метод e-огра­ничений.

Для решения задач оптимизации с большим числом оптимизируемых факторов (тысячи) и нелинейным характером целевой функции ввиду существенных вычислительных затрат необходимо использование алгоритмов большой размерности. Данные алгоритмы основаны на введении так называемой области доверия, где рассматриваемая целевая функция f( x ) может быть адекватно аппроксимирована более простой функцией.

Дата добавления: 2014-10-23