Вычисление длины дуги кривой

Помимо нахождения объема тела вращения определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой.
Мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением в полярной системе координат.

Пусть некоторая функция непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

В предположение о непрерывности производной на , длина кривой выражается формулой:

или компактнее:

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции (при разумеющемся условии ).

Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Пример 1. Вычислить длину дуги параболы от точки до точки

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования и используем формулу:

Интеграл данного вида интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Пример 2. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

Решение. Пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой ,

Решение. Найдём производную:

Таким образом:
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной: . Так как на отрезке интегрирования, то: .
Ответ:

Дата добавления: 2014-10-31