Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нахождение длины дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат




Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение определяет точку , а значение – точку . Если на промежутке функция имеет непрерывную производную , то длина кривой выражается следующей формулой:

Пример 6.Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Решение. Используем формулу .

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

Заливаем топливо:

Используем формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество :

Теперь нужно разобраться с функцией на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Мысленно представив график, видно, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит, и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.

Ответ:

Пример 7.Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Решение. Используем формулу:

Ответ:

Задания для самостоятельной работы по теме "Вычисление длины дуги кривой"

 

1. Найти длину дуги кривой y = ln x, .

2.Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x3/2 от х = 0 до х = 5.

3.Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат: , .

4.Найти длину первого витка спирали Архимеда r = φ.

5.Найти длину одной арки циклоиды

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах

7.Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

 

 

Ответы для самостоятельной работы по теме "Вычисление длины дуги кривой"

 

1. .

2..

3..

4.

5.

6..

7..

 

2.6. Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач (12 часов)

 

Применение определенного интеграла к решению физических и технических задач

Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач, поэтому знания, полученные вами на этом уроке, помогут в вашей дальнейшей учебе и практической деятельности.

 

Задача о вычислении пути

Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. . Отсюда, . Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2 получаем

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью (е) за отрезок времени []выражается интегралом

(1)

Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 2t+3t2(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.



Решение.

Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v2=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.

Таким образом, S=S1-S2= 275-75=200 (м).

 

Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постоянна, а пройденный путь равен s, то как известно из курса физики, работа А этой F вычисляется по формуле:

А= F*s

Работу переменной силы f(x) при перемещении по оси Оx материальной точки от x=a до x=b, находим по формуле (2):

A= (2)

Решении задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением и сжатием пружин, основывается на законе Гука. По закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину, пропорциональная этому растяжению или сжатию, т.е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности.

Пример 1.Сила упругости F пружины, растянутой на 11 = 0,05 м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 12 =0,1 м?

Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим: 3=k*0.05, т.е. k=60, следовательно, сила упругости выражается соотношением F=60x. Найдем работу переменной силы по формуле (2), полагая, что а=0; b=0,1:

A==0,3Дж

Задача о силе давления жидкости

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле P=gphS, (3)

Где g – ускорение свободного падения в м/с2;

p– плотность жидкости в кг/м3;

h – глубина погружения площадки в м;

S – площадь площадки в м2.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у1 = f1(x) и у2=f2(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 1.

 

рисунок 1

Для решения задачи разобьем пластину на n частей (малых горизонт альных полосок) прямыми, параллельными поверхности жидкости (т.е. параллельными оси OY). На глубине х выделим одну из них и обозначим через f(x) ее длину, а через ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, находим ее площадь .

Найдем дифференциал dp этой функции.

Тогда по закону Паскаля интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

P=g (4)

Пример 1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м3), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой (3). Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:





Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 1199; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:





studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.016 сек.