П. 3. Поверхности вращения

Поверхность, полученная при вращении кривой вокруг прямой (называемой осью вращения), называется поверхностью вращения.

Меридианом поверхности вращения называется линия, полученная при пересечении поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения. Параллелью поверхности вращения называется линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения.

Пусть кривая расположена в плоскости и задана уравнением , тогда поверхность, полученная при вращении кривой вокруг оси задается уравнением .

Пусть кривая расположена в плоскости и задана уравнениями , тогда поверхность, полученная при вращении кривой вокруг оси задается уравнениями

, .

Пусть кривая в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнениями , тогда поверхность, полученная при вращении кривой вокруг оси задается уравнением .

Примеры поверхностей вращения второго порядка:

а)

- эллипсоид вращения (получен при вращении эллипса

вокруг оси ).

Эллипсоид вращения есть геометрическое место точек пространства, сумма расстояний от которых до двух данных точек, (называемых фокусами) является постоянной величиной, большей, чем расстояние между фокусами,

б)

- однополостный гиперболоид вращения (получен при вращении гиперболы вокруг мнимой оси ).

Однополостный гиперболоид вращения является поверхностью, полученной при вращении одной из двух скрещивающихся прямых вокруг другой прямой.

в)

двуполостный гиперболоид вращения (получен при вращении гиперболы вокруг действительной оси ).

Двуполостный гиперболоид вращения есть геометрическое место точек пространства, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, (называемых фокусами) является постоянной величиной, меньшей, чем расстояние между фокусами,

г) - параболоид вращения (получен при вращении параболы вокруг оси параболы ).

Параболоид вращения есть геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной точки и от данной плоскости, не проходящей через данную точку.

Эллипсоид вращения, гиперболоид вращения и параболоид вращения можно охарактеризовать одним свойством – это геометрическое множество точек пространства, для каждой из которых отношение расстояния от данной точки к расстоянию до данной плоскости , где равно данному числу , где .

д) цилиндр вращения, круговой цилиндр (получен при вращении прямой вокруг параллельной к ней прямой).

Цилиндр вращения есть множество точек пространства, удаленных от данной прямой на одно и то же расстояние.

е) - конус вращения, круговой конус (получен при вращении одной из двух пересекающихся прямых вокруг другой прямой).

Круговой конус есть множество точек пространства, для каждой из которых отношение расстояния от данной точки к расстоянию до данной плоскости , где равно данному числу , где .

Геометрическое место точек пространства, для каждой из которых расстояние до данной плоскости в раз больше расстояния до данной прямой , где , есть круговой конус с вершиной в точке пересечения и осью .

Дата добавления: 2014-10-31