П. 4. Конические сечения

П.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и данной точки, называемой фокусом, т.е.

Пусть и система координат выбрана как на рис. 1, тогда каноническое уравнение параболы - .

Параметр р называется фокальным параметром параболы.

Уравнение директрисы .

Касательная к параболе в ее точке :

.

Коническим сечением называется кривая, по которой пересекает круговой конус произвольная плоскость, не проходящая через его вершину и не перпендикулярная оси конуса.

Коническое сечение является либо эллипсом, либо гиперболой либо параболой.

Директориальное свойство конического сечения: Отношение расстояния от любой точки конического сечения до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы (рис. 2) равно эксцентриситету конического сечения, т.е.

.

Диаметром эллипса (гиперболы) называется любая прямая, проходящая через центр эллипса (гиперболы). Диаметром параболы называется любая прямая, параллельная ее оси, а также сама ось.

Геометрическое место середин параллельных хорд конического сечения принадлежит диметру конического сечения. Этот диаметр называется сопряженным к хордам данного семейства конического сечения.

Диаметр эллипса (гиперболы), сопряженный к хордам, параллельным данному диаметру, называется сопряженным к этому диаметру.

На рис. 3 и - сопряженные диаметры

Уравнения диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом :

а) для эллипса , б) для гиперболы ,

в) для параболы .

Касательные к эллипсу (гиперболе) в концах его диаметра параллельны.

Оптические свойства конического сечения:

а) Световой луч, исходящий из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходит через второй фокус.

Касательная к эллипсу есть биссектриса внешнего угла в точке касания между фокальными радиусами (рис. 4).

б) Световой луч, исходящий из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажется исходящим из второго фокуса.

Касательная к гиперболе есть биссектриса внутреннего угла в точке касания между фокальными радиусами (рис. 5).

в) Световой луч, исходящий из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы направлен параллельно оси параболы (рис. 6).

Фокальный параметр конического сечения равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной фокальной оси (рис. 7).

Для эллипса и гиперболы .

Полюс полярной системы координат расположен в фокусе конического сечения, полярная ось направлена от соответствующей директрисы, перпендикулярно директрисе.

Дата добавления: 2014-10-31