П. 1.Конические поверхности

Поверхности второго порядка

П. 5. Линии второго порядка

Общее уравнение линии второго порядка:

(1)

Точка называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Линия называется центральной, если она имеет единственный центр.

Координаты центра линии (1) определяются из системы

.

Главными осями линии второго порядка называются диаметры, которые перпендикулярны к сопряженным хордам. Направления главных осей называются главными направлениями.

Главные направления линии (1) определяются из уравнений

или

, ,

где - корни уравнения .

Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

Пусть заданы:

- направляющая линия конуса (1)

- и вершина конуса , тогда уравнение образующих

(2)

Исключая переменные из четырех уравнений (1) и (2), получим уравнение конической поверхности относительно переменных .

Если однородная функция, то поверхность, определяемая в прямоугольной декартовой системе координат уравнением , является конической поверхностью с вершиной в начале координат.

Пример конической поверхности второго порядка (3)

При получаем круговой конус

Уравнение плоскости, касающейся конуса (1) в точке конуса .

Уравнения плоскостей, при пересечении которыми конуса (3) (для ), получаем окружности

,

Уравнение конуса, проходящего через три координатные оси

.

Дата добавления: 2014-10-31