Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение и необходимые условия существования локального экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве { М }, а М ₀ (x ₀, у ₀) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М ₀ локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M ₀, принадлежащая { М }, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M ₀ ) (f (М) ≥ f (М ₀)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f (М ₀) удовлетворяет одному из условий в окрест­ности точки M ₀:

Δ z ≤ 0, если M ₀ — точка локального максимума;

Δ z ≥ 0, если M ₀ — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования ло­кального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M ₀ (x ₀, y ₀) локальный экстремум и частные производные пер­вого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M ₀.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х ² — у ² частные производные равны нулю в точке O (0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением ги­перболического параболоида) не имеет экстремума: f (0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точ­ками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем = 0 и = 0, откуда получаем систему двух алгебраических урав­нений с двумя неизвестными

Решение этой системы х = 1, у = 2, т.е. точка с координа­тами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Решение. По условию (8.10) все три первые частные про­изводные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя не­известными

Решение этой системы дает единственную стационарную точ­ку возможного экстремума: (3, -4, 2).

Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M ₀ через а ₁₁, a ₁₂, a ₂₂ соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М ₀ (х ₀, у ₀ ) возможного экстре­мума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М ₀ локальный экстре­мум: минимум при а ₁₁ < 0 и максимум при а ₁₁ > 0. Если же а ₁₁ а ₂₂ — a ₁₂² ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M ₀.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х ³ — у ³ — 3 ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

откуда получаем Δ = а ₁₁ a ₂₂ — а ₁₂² = -36 xу — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т.е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а ₁₁ < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: u _max = f (-1, 1) = 1.

Дата добавления: 2014-10-15