Произведение событий и условная вероятность

Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Произведением двух событий А и В называ­ется событие АВ, означающее совместное появление этих со­бытий (см. гл. 1.1, произведение множеств).

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично опре­деляется произведение нескольких событий, как совместное по­явление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких дру­гих ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Ес­ли же налагаются другие дополнительные условия, содержа­щие случайные события, то вероятность такого события назы­вается условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью Р_A(В).

Пример 1. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандарт­ные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в пер­вый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 дета­лей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая веро­ятность

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность Р_А(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

Решение. Итак, событие А — это извлечение из ящика не­стандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда воз­можны два случая. 1) Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность Р_A(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 17.3,

2) Вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность Р_B(А) = 0,3. Мы видим, что и в этом случае вероятность произведе­ния событий Р(ВА) = Р(В)Р_B(А) ≈ 0,22.

В этом примере мы проверили известное в теории равен­ство

Теорема 17.3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий A ₁, А ₂, А ₃ ,..., A_n:

т.е. вероятность совместного появления п событий равна про­изведению п вероятностей, где P_A1A2..._Ak-1(A_k) — условные ве­роятности событий A_k в предположении, что события A ₁ A ₂ ... A_k-1 уже произошли (k = 1, 2,..., п).

Пример 3. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления крас­ного шара во втором извлечении при условии появления в пер­вый раз белого шара Р_A(В) = 5/11; условная вероятность по­явления синего шара в третьем извлечении при условиях по­явления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров Р_AB(С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле (17.6) при п = 3:

Дата добавления: 2014-10-15