Рынок ресурсов

Функции спроса на первичный ресурс «капитал» при заданных объемах производства Q ₁ и Q ₂ получаем из задач минимизации издержек в отраслях 1 и 2:

	(1.48)
	(1.49)

Предложение первичного ресурса «капитал» задано величиной его начального запаса:

K 1 + K 2 = 100.

(1.4)

Система уравнений (1.50) – (1.54) описывает общее равновесие в экономике. При этом уравнения (1.50) и (1.51) описывают равновесия на рынках благ 1 и 2. Уравнение (1.52) описывает равновесие на рынке капитала. Уравнение (1.53) иллюстрирует тот факт, что денежный доход репрезентетивного потребителя складывается из доходов труда и капитала. Наконец, уравнение (1.54) задает масштаб цен, приняв за единицу величину дохода единицы труда.

	(1.50)
	(1.51)
	(1.52)
	(1.53)
	(1.54)

Решив систему (1.50)-(1.54), находим равновесные значения:

;
;
; ;
;
.

Расчеты показателей СНС представим в виде таблицы:

ВВП использованный	Национальный доход
Покупки блага 1	= 1,89 × 52,913 = 100,0	Доходы труда	= 100 × 1,0 = 100,0
Покупки блага 2	= 1,89 × 52,913 = 100,0	Доходы капитала	= 100 × 1,0 = 100,0
Итого:	200,0	Итого:	200,0

Задача 1.9. Рассмотрим экономику, описанную в Задаче 1.8. Пусть отрасль 1 является монополией, в то время как отрасль 2 продолжает оставаться конкурентной. Найдите общее равновесие для этой экономики. Определите величины ВВП и национального дохода. Опишите влияние наличия монополии на распределение доходов в экономике, на производственную и экономическую эффективность.

Решение:

Наличие монопольной власти у продавца блага 1 приводит к тому, что равновесный выпуск в этой отрасли соответствует не равенству предельных издержек и цены, а равенству предельных издержек и предельной выручки. Заметим, что величина полной выручки отрасли 1 равна

,

(1.55)

Поэтому величина предельной выручки отрасли 1 равна

,

(1.56)

Общее равновесие в экономике с монополизированной отраслью 1 описывается системой уравнений (1.50′) – (1.54′), которая почти полностью совпадает с системой (1.50) – (1.54). Только уравнения (1.50′) и (1.53′) из-за учета монопольного положения отрасли 1 несколько отличаются от уравнений (1.50) и (1.53). Уравнение (1.50′) описывает равенство предельной выручки и предельных издержек в отрасли 1. В левой части уравнения (1.53′) появилось третье слагаемое, соответствующее величине монопольной прибыли отрасли 1.

	(1.50′)
	(1.51′)
	(1.52′)
	(1.53′)
	(1.54′)

Действительно, прибыль отрасли 1 равна

	(1.57)

Решив систему (1.50′) – (1.54′), находим равновесие:

; ;
; ;
; ; ;;
; ;
.

Расчеты показателей СНС представим в виде таблицы:

ВВП использованный	Национальный доход
Покупки блага 1	= 6,34 × 15,26 = 96,76	Доходы труда	= 100 × 1,0 = 100,00
Покупки блага 2	= 2,65 × 26,25 = 231,74	Доходы капитала	= 100 × 1,66 = 165,87
		Монопольная прибыль отрасли 1	= 62,63
Итого:	328,50	Итого:	328,50

Монополизм в данном случае не привел к снижению производственной эффективности, так как экономика продолжает производить на границе производственных возможностей. Однако производимый набор не соответствует точке касания наивысшей кривой безразличия с ГПВ, то есть экономическая эффективность несколько снизилась. Что касается распределения доходов, то, как и следовало ожидать, существенная их часть теперь аккумулируется в виде монопольной прибыли.

Рис.1.4. Решение Задачи 1.9

Задача 1.10. Рассмотрим экономику, описанную в Задаче 1.8. Будем теперь считать, что обе отрасли являются монополиями. Найдите общее равновесие для этой экономики. Определите величины ВВП и национального дохода. Как монополизм повлиял на распределение доходов в экономике, на производственную и экономическую эффективность?

Решение:

Наличие монопольной власти у продавцов приводит к тому, что равновесный выпуск в обоих отраслях соответствует не равенству предельных издержек и цены, а равенству предельной выручки и цены. Общее равновесие в экономике с обеими монополизированными отраслями описывается системой уравнений (1.50′′) – (1.54′′).

	(1.50′′)
	(1.51′′)
	(1.52′′)
	(1.53′′)
	(1.54′′)

Решив систему (1.50′′) – (1.54′′), находим равновесие:

;
;
; ;
;
.

Расчеты показателей СНС представим в виде таблицы:

ВВП использованный	Национальный доход
Покупки блага 1	= 7,56 × 52,91 = 400,0	Доходы труда	= 100 × 1,0 = 100,0
Покупки блага 2	= 7,56 × 52,91 = 400,0	Доходы капитала	= 100 × 1,0 = 100,0
		Монопольная прибыль отрасли 1	= 300,0
		Монопольная прибыль отрасли 2	= 300,0
Итого:	800,0	Итого:	800,0

Монополизм в данном случае опять никак не сказался на производственной эффективности, экономика продолжает производить на границе производственных возможностей. Это, конечно, является следствием нашего предположения о наличии совершенной конкуренции на рынке первичных ресурсов. Парадоксально, но экономическая эффективность по сравнению со случаем только одного монополизированного сектора выросла, так как производимый набор теперь соответствует точке касания наивысшей кривой безразличия с ГПВ (ср. с Задачей 1.8). Единственным негативным последствием монополизма является жесткое перераспре-деление доходов в пользу владельцев монополий. Для наглядности представим показатели СНС «в реальном выражении», то есть в ценах, соответствующих условиям совершенной конкуренции (см. Задачу 1.8):

ВВП исп. (реальн. выр.)	Национальный доход (реальн. выр.)
Покупки блага 1	= 1,89 × 52,91 = 100,0	Доходы труда	= 100 × 0,25 = 25,0
Покупки блага 2	= 1,89 × 52,91 = 100,0	Доходы капитала	= 100 × 0,25 = 25,0
		Монопольная прибыль отрасли 1	= 75,0
		Монопольная прибыль отрасли 2	= 75,0
Итого:	200,0	Итого:	200,0

Задача 1.11. Рассмотрим экономику, описанную в Задаче 1.1. Допустим, правительство вводит 50%-ую ad valorem субсидию на продажу товара 2. Найдите изменения в общем равновесии, вызванные введением субсидии. Определите изменения в номинальных и реальных показателях ВВП и национального дохода. Дайте денежную оценку изменению совокупного благосостояния населения.

Задача 1.12. Рассмотрим экономику, описанную в Задаче 1.3. Допустим, в дополнение к существующему 100%-ному акцизу на продажу товара 1 правительство вводит еще и 100%-ный ad valorem акциз на продажу товара 2. Определите изменения в общем равновесии, вызванные введением нового акциза. Определите изменения в номинальных и реальных показателях ВВП и национального дохода. Дайте денежную оценку изменению совокупного благосостояния населения.

Задача 1.14. Рассмотрим конкурентную экономику, технология производства в которой задана производственными функциями:

q 1 = (k 1)^0,3(l 1)^0,7,	(1.46)
q 2 = (k 2)^0,7(l 2)^0,3,	(1.47)

где k_i, l_i (i = 1, 2) - объемы использования труда и капитала соответствующими фирмами, а q ₁ и q ₂ – их объемы выпуска.

Предпочтения репрезентативного потребителя заданы функцией полезности:

U (Q 1, Q 2) = Q 1^0,3 Q 2^0,7.

(1.48)

Запас «первичных ресурсов», труда L и капитальных благ K, в стране равны , .

Определите КПК, ГПВ, равновесные объемы производства товаров и использования ресурсов, а также равновесные цены, приняв цену труда за единицу масштаба цен.

Составьте таблицы ВВП и национального дохода.

Задача 3.1. Рассмотрим конкурентную экономику, технология производства в которой задана двумя элементарными производственными способами:

.

(3.1)

Запасы «первичных ресурсов» равны: , .

Найдите ГПВ данной экономики.

Решение:

Межотраслевые связи, описываемые технологией (3.1), удобно представить в виде «матрицы межотраслевого баланса» А:

,

(3.2)

связывающей вектор выпуска конечной продукции Y с вектором полного выпуска продукции X, который включает и промежуточное (производственное) потребление:

.

(3.2)

Уравнение (3.2) можно переписать в виде

.

(3.3)

где Е – единичная матрица.

Ресурсоемкость полного выпуска задана вектором-строкой затрат труда b и вектором-строкой затрат капитала c:

,	(3.3)
.	(3.4)

Область производственных возможностей экономики определяется линейными неравенствами (3.5) и (3.6):

,	(3.5)
.	(3.6)

Уравнения ГПВ получаем, переписав выражения (3.5)-(3.6) в виде равенств и подставив необходимые численные значения:

,	(3.7)
.	(3.8)

Рис.1.5. ГПВ экономики с «Леонтьевскими» технологиями (Задача 3.1).

Задача 3.2. Рассмотрим экономику, технологические возможности которой описаны в задаче 3.1. Допустим, спрос на конечную продукцию в данной экономике задан функцией полезности (3.9) репрезентативного потребителя:

.

(3.9)

Найдите объемы производства и цены товаров, соответствующие общему конкурентному равновесию.

Решение:

ГПВ данной экономики представляет собой ломаную линию, описываемую уравнениями (3.7)-(3.8). Решив задачу максимизации функции (3.9) при условии выполнения ограничений (3.5′)-(3.6′):

,	(3.5′)
,	(3.6′)

находим равновесные объемы потребления , .

Связывающим ограничением оказывается условие (3.5′), то есть ограничение по труду. Это означает, что в условиях линейной технологии только труд будет иметь положительную равновесную цену. Капитал же, как избыточный ресурс, будет иметь нулевую цену: R = 0. Цену труда можем принять за единицу: W = 1.

Объемы потребления Q равны объемам производства конечной продукции, поэтому: , .

Используя уравнение (3.3), находим равновесные объемы полного выпуска: , .

Цену блага 1 находим, подсчитав, в какое количество единиц труда обходится производство вектора конечной продукции (1, 0):

.

(3.10)

Цену блага 2 находим, подсчитав, в какое количество единиц труда обходится производство вектора конечной продукции (0, 1):

.

(3.11)

Задача 3.3. Рассмотрим экономику, технологические возможности которой описаны в задаче 3.1. Найдите объемы производства и цены товаров, соответствующие общему конкурентному равновесию, если функция полезности репрезентативного потребителя равна:

(а)	;	(3.12)
(б)	.	(3.13)

Объясните различия между равновесными ценами, полученными в случаях (а) и (б).

Задача 3.4. Рассмотрим конкурентную экономику, запасы «первичных ресурсов» в которой равны: , . Технология производства задана четырьмя элементарными производственными способами:

Способ №
=					(3.14)

Найдите ГПВ данной экономики.

Решение:

Линейность технологии (3.14) позволяет описать экономику в виде единой конкурентной фирмы, которая производит благо 1, пользуясь способами 1 и 2, а благо 2 – способами 3 и 4. Обозначим долю блага 1, производимого способом 1, коэффициентом α. (0≤ α ≤1). Обозначим долю блага 2, производимого способом 3, коэффициентом β. Межотраслевые связи, описываемые технологией (3.14), представим в виде «матрицы межотраслевого баланса» А:

.

(3.15)

Из (3.15) находим матрицу :

.

(3.16)

Ресурсоемкость полного выпуска задана вектором-строкой затрат труда b и вектором-строкой затрат капитала c:

,	(3.17)
.	(3.18)

Подставив соответствующие численные значения в выражения (3.5)-(3.6), получаем уравнения (3.19)-(3.20):

,	(3.19)
.	(3.20)

Чтобы получить уравнения ГПВ из уравнений (3.19)-(3.20) в общем случае, необходимо для каждого значения Y ₁ определить такие значения коэффициентов α и β,при которых Y ₂ будет максимальным. Впрочем, при заданных в задаче величинах ресурсов , можно обойтись и более простыми рассуждениями. Поделим правую и левую части уравнения (3.20) пополам:

.

(3.20′)

Легко убедиться, что коэффициент при Y ₁ в уравнении (3.19) больше коэффициента при Y ₁ в уравнении (3.20′) при любых допустимых значениях долей α и β. Аналогично, коэффициент при Y ₂ в уравнении (3.19) всегда больше соответствующего коэффициента в уравнении (3.20′). Это означает, что из двух ограничений, определяющих ГПВ, связывающим является только ограничение по труду. Осталось лишь определить такие значения α и β, при которых прямая, задаваемая уравнением (3.19), отсекает наибольшую область производственных возможностей. Очевидно, что это имеет место при α = β = 0. ГПВ экономики имеет вид:

,

(3.21)

Уравнение (3.21) можно интерпретировать на основе ценностных рассуждений. Из уравнений (3.19) и (3.20) находим предельные издержки производства благ 1 и 2:

MC 1 =,	(3.22)
MC 2 =.	(3.23)

Мы выяснили, что связывающим ограничением при заданных запасах , всегда оказывается ограничение по труду. Капитала слишком много, труда слишком мало. Следовательно, можно утверждать, что равновесная цена капитала будет равна нулю. Приняв цену труда за единицу, имеем:

MC 1 =,	(3.24)
MC 2 =.	(3.25)

Конкуренция заставляет производителей выбирать такую комбинацию элементарных производственных способов (3.14), при которых издержки производства минимальны. Это имеет место при α = β = 0.

Задача 3.5. Рассмотрим конкурентную экономику, описанную в задаче 3.4. Но теперь запасы «первичных ресурсов» равны между собой: , . Найдите ГПВ.

Задача 3.6. Рассмотрим конкурентную экономику, описанную в задаче 3.4. Но теперь запасы «первичных ресурсов» равны: , (случай, промежуточный между Задачей 3.4 и Задачей 3.5) Попытайтесь найти ГПВ (по крайней мере, сформулируйте задачу линейного программирования).

Задача 3.13. В замкнутой конкурентной экономике производятся два блага, 1 и 2, при использовании «первичных ресурсов» K и L. Технология производства описывается производственными функциями (3.34) и (3.35):

q 1 = (l 1)^1/2(q 21)^1/2,	(3.34)
q 2 = (k 2)^1/2(q 12)^1/2,	(3.35)

где l ₁, k ₂ – объемы использования труда и капитала соответствующими фирмами, q ₁ и q ₂ – их объемы выпуска, а q_ij – производственное потребление блага i при выпуске блага j.

Предпочтения репрезентативного потребителя заданы функцией полезности:

U (Q 1, Q 2) = Q 1^2 Q 2.

(3.36)

Запасы «первичных ресурсов» равны:, .

(1) Выпишите систему уравнений ГПВ в виде зависимостей объемов выпуска от относительных цен ресурсов.

(2) Найдите равновесные объемы производства товаров, их равновесные цены p ₁ и p ₂, а также равновесную цену капитала R, выбрав за единицу масштаба цен цену труда: W =1;

(3) Постройте таблицы МОБ, соответствующие полученному равновесию, найдите величины ВВП и НД.

Решение:

(1) Решив задачи минимизации издержек конкурентными производителями, владеющими технологиями (3.34)-(3.35), находим предельные издержки производства благ:

MС 1 = 2(Rp 1)^1^/2,	(3.37)
MС 2 = 2(Wp 2)^1/2.	(3.38)

В условиях совершенной конкуренции цены благ равны предельным издержкам: p ₁ = MС ₁, p ₂ = MС ₂. Используя этот факт, из равенств (3.37) и (3.38) можно получить зависимости равновесных цен благ от равновесных цен ресурсов:

p 1 = 4 R ^1/3 W ^2/3,	(3.39)
p 2 = 4 R ^2/3 W ^1/3.	(3.40)

Решив задачи минимизации издержек конкурентными производителями, владеющими технологиями (3.34)-(3.35), находим также уравнения условного спроса фирм на ресурсы:

q 21 = q 1(W/p 2)^1^/2,	(3.41)
q 12 = q 2(R/p 1)^1^/2.	(3.42)

Из уравнений (3.41)-(3.42) следует, что технология производства в условиях равновесия задана двумя элементарными производственными способами (3.43):

.

(3.43)

Воспользовавшись уравнениями (3.39)-(3.40), оставим в выражениях (3.43) лишь параметр, описывающий отношение равновесных цен ресурсов:

.

(3.44)

Матрицы «затраты-выпуск», соответствующие элементар-ным производственным способам (3.44), равны:

,	(3.45)
,	(3.46)

а ресурсоемкость выпуска задана вектором затрат труда b и вектором затрат капитала c:

,	(3.47)
.	(3.48)

Область производственных возможностей экономики определяется линейными неравенствами (3.5) и (3.6):

,	(3.5)
.	(3.6)

Уравнения ГПВ получаем, подставив значения (3.45)-(3.48) в выражения (3.5) и (3.6):

,	(3.49)
.	(3.50)

Осталось переписать уравнения ГПВ (3.49)-(3.50) в виде зависимостей объемов выпуска от равновесных цен ресурсов:

,	(3.51)
.	(3.52)

Абсолютную величину тангенса угла наклона ГПВ, то есть «предельную норму трансформации» продукта 1 в продукт 2 (MRT ₁₂), получаем из отношения равновесных цен благ (3.39)-(3.40):

MRT 12 º p 1/ p 2 = (W/R)^1/3.

(3.53)

(2) Максимизация удовлетворения предпочтений репрезентативного потребителя приведет к тому, что предельная норма замены одного товара на другой будет равна отношению цен:

MRS 12 = .

(3.54)

Преобразовав уравнения (3.51)-(3.54), получаем систему уравнений, описывающую общее равновесие в экономике:

Y 1 = (W/R)^1/3 (1/2 – (1/4) R/W),	(3.55)
Y 2 = (R/W)^1/3(1/2 – (1/4) W/R),	(3.56)
2 Y 2/ Y 1 = (W/R)^1/3.	(3.57)

Система (3.55)-(3.57) легко решается относительно параметра (W/R). Надо поделить удвоенную правую часть равенства (3.56) на правую часть равенства (3.55),а результат приравнять правой части равенства (3.57). Таким образом, получаем равновесное значение: W/R = 5/4.

Выбрав цену труда за единицу масштаба цен W = 1, получаем равновесную цену капитала: R = 0.8.

Равновесные цены благ находим из уравнений (3.39) и (3.40):

p ₁≈ 3,71327, p ₂≈ 3,44709.

Равновесные объемы конечного потребления товаров находим из уравнений (3.55) и (3.56):

Y ₁≈ 0,32317, Y ₂≈ 0,17406.

Используя матрицу (3.46), получаем объемы полного выпуска товаров:

X ₁≈ 0,53861, X ₂≈ 0,46416.

(3) Таблица МОБ «в натурально-вещественной форме» выглядит следующим образом:

	Использование продукции
Текущее производственное потребление в отраслях	Конечное потребление	Полный выпуск
Продукция
отрасли 1		0,21544	0,32317	0,53861
отрасли 2	0,29010		0,17406	0,46416
Затраты труда
Затраты капитала

МОБ в ценностном выражении строим, используя найденные равновесные цены:

	Потребление продукции
	Текущее производственное в отраслях	Конечное	Полное
Текущие материальные за-траты по видам продукции
		0,8	1,2	2,0
			0,6	1,6
			ВВП = 1,8 НД = 1,8
Доходы труда
Доходы капитала		0,8
Вся валовая продукция		1,6		СОП = 3,6

Задача 3.14. Рассмотрим экономику, описанную в Задаче 3.13. Теперь у этой экономики возникает возможность торговать с внешним миром. Допустим, соотношение мировых цен на блага 1 и 2 равно p ₁/ p ₂ = (0,8)^1/3 ≈ 0,9283178. Также примем, что размер данной экономики мал по сравнению с мировой.

Найдите равновесные цены и объемы производства, величины экспорта и импорта. Постройте таблицы МОБ, соответствующие полученному равновесию.

Решение:

ГПВ данной экономики, как и в Задаче 3.13, описывают уравнения (3.51) и (3.52). Максимизация прибыли производителями приводит к тому, что на ГПВ выбирается комбинация производства, при которой предельная норма трансформации равна отношению мировых цен:

.

(3.58)

Уравнения (3.51), (3.52), (3.58) определяют равновесные объемы выпуска конечной продукции. Для удобства расчетов можно воспользоваться еще и уравнением (3.53), чтобы найти сначала равновесное значение цены капитала:

R = 1.25 (при W = 1).

Равновесные цены благ находим из уравнений (3.39) и (3.40):

p ₁≈ 4,3089, p ₂≈ 4,6416.

Равновесные объемы конечного потребления товаров находим из уравнений (3.55) и (3.56):

Y ₁≈ 0,17406, Y ₂≈ 0,32317.

Используя матрицу (3.46), получаем объемы полного выпуска товаров:

X ₁≈ 0,46416, X ₂≈ 0,53861.

Для того чтобы найти объемы международной торговли, рассмотрим задачу репрезентативного потребителя, который максимизирует функцию (3.36). Его бюджетное ограничение задано отрезком прямой линии с тангенсом угла наклона, равном p ₁/ p ₂ = (0,8)^1/3, который проходит через точку выпуска конечной продукции Q ₁≈ 0,17406, Q ₂≈ 0,32317. Уравнение этой бюджетной линии легко найти:

.

(3.59)

Решив задачу репрезентативного потребителя, находим равновесные объемы потребления благ:

Q ₁≈ 0,34812, Q ₂≈ 0,16158.

Сравнивая объемы выпуска с объемами потребления, приходим к выводу, что в равновесии половина потребления блага 1 импортируется, а половина выпуска блага 2 экспортируется.

Таблица межотраслевого баланса «в натурально-вещественной форме» выглядит следующим образом:

	Производственное потребление	Конечное потребление	X
внутреннее	экспорт
		0,29010	0,17406		0,46416
	0,21544		0,161585	0,161585	0,53861
L
K
Импорт	0,17406

МОБ в ценностном выражении строим, используя равновесные цены:

	Потребление продукции
	производственное	конечное	Полное
			внутреннее	экспорт
		1,25	0,75		2,0
			0,75	0,75	2,5
WL			ВВП = НД = 2,25	СОП = 4,5
RK		1,25
Импорт	0,75

Задача 3.15. Сравните равновесия, описанные в Задачах 3.13 и 3.14, с точки зрения изменений в ВВП в реальном выражении. Как повлияло открытие границ на величину реального ВВП? Почему?

Дата добавления: 2014-10-31