Случай 3. 1 директивное ценообразование в сфере потребления

(См. Задачи 2.3-2.8 [3], основанные на работе: Stahl II, D.O., M. Alexeev. “The Influence of Black Markets on a Queue-Rationed Centrally Planned Economy”, Journal of Economic Theory vol.35, 1985, pp.234-250. )

Рассмотрим конкурентную экономику обмена с двумя благами, 1 и 2, и тремя потребителями, чьи предпочтения заданы функциями полезности:

,	(1.43)
,	(1.44)
,	(1.45)

где x_i^j – объем потребления блага j потребителем i.

Денежные бюджеты потребителей равны

M ₁ = M ₂ = M ₃ = 100.

Начальные запасы благ в экономике равны X ¹ = 60, X ² = 90.

Несложно убедиться, что цены и объемы потребления благ в условиях Вальрасова равновесия равны

p ^1» 2,319	x 1^1» 18,88	x 2^1» 22,24	x 3^1» 18,88
p ^2» 1,788	x 1^2» 31,45	x 2^2» 27,10	x 3^2» 31,45
Для справки:	u 1» 33,74	u 2» 534536	u 3» 33,74

Предположим, что оба блага продаются правительством через государственную розничную сеть по фиксированным ценам

p ¹ = p ² = 2.

Так как официальные цены не совпадают с равновесными, наблюдается дефицит одного из благ. Сравнение Вальрасовых цен с директивными показывает, что правительство приписало товару 1 слишком низкую цену, а товару 2 – слишком высокую. Поэтому на официальном рынке будет наблюдаться дефицит товара 1 и переизбыток товара 2.

Очереди в отсутствии «черного рынка»

В качестве «естественного» механизма рационирования дефицитного блага появляются очереди: для того, чтобы получить право приобрести единицу дефицитного блага по официальной цене, покупатель должен отстоять в очереди τ единиц времени.

Заметим, что именно «длина очереди» τ балансирует в данной экономике спрос и предложение на рынке блага 1. Она играет роль дополнительной теневой цены блага 1. Ее конкретная величина определяется условиями общего равновесия в экономике.

Поскольку механизм очередей подразумевает неявный обмен дефицитным ресурсом – свободным временем, постольку в модель необходимо ввести предпочтения потребителей относительно времени. Для этого несколько модифицируем функции полезности:

,	(1.46)
,	(1.47)
,	(1.48)

где x_i^j – потребление потребителем i блага j, а l_i – потребление потребителем i свободного времени.

Кроме того, необходимо задать первоначальные запасы свободного времени, находящиеся в распоряжении потребителей. Пусть:

L 1 = 10;

L 2 = 12,5;

L 3 = 15.

Предположим, что перепродажа дефицитного блага на «черном рынке» невозможна. Найдем равновесную длину очереди τ и равновесные объемы потребления благ.

Потребитель 1 решает задачу:
при ограничениях:	,	μ 1
	.	λ 1

Потребитель 2 решает задачу:
при ограничениях:	,	μ 2
	.	λ 2

Потребитель 3 решает задачу:
при ограничениях:	,	μ 3
	.	λ 3

Здесь μ ₁, λ ₁, μ ₂, λ ₂, μ ₃, λ ₃ – соответствующие ограничениям Лагранжевы множители. Целевые функции прологарифмированы для удобства счета.

Необходимые условия максимума в задаче потребителя 1 выглядят как

,	(1.49)
,	(1.50)
.	(1.51)

Аналогично находятся необходимые условия максимума в задачах потребителей 2 и 3:

,	(1.52)
,	(1.53)
,	(1.54)
,	(1.55)
,	(1.56)
.	(1.57)

Условия (1.49)-(1.51) сгруппируем в уравнение (1.58), условия (1.52)-(1.54) – в уравнение (1.59), а условия (1.55)-(1.57) – в уравнение (1.60). Добавим к ним три денежных бюджета (1.61)-(1.63), три бюджета времени (1.64)-(1.66) и один из материальных балансов (1.67). В результате получим систему уравнений (1.58)-(1.67), которая описывает равновесие в данной экономике.

,	(1.58)
,	(1.59)
,	(1.60)
,	(1.61)
,	(1.62)
,	(1.63)
,	(1.64)
,	(1.65)
,	(1.66)
.	(1.67)

Решением этой системы являются следующие значения переменных:

	.

Предельная денежная оценка свободного времени потребителем i в условиях равновесия определяется делением предельной полезности его свободного времени на его индивидуальную оценку предельной полезности денег:

, i =1, 2, 3.

(1.68)

Воспользовавшись условиями (1.52)-(1.57), выражение (1.68) можно переписать по-иному:

.

(1.69)

Осталось лишь найти численные значения w_i:

w 1 ≈ 7,9466

w 2 ≈ 5,5310

w 3 ≈ 4,8360.

Дата добавления: 2014-10-31