Розв’язання. 1. Розглянемо рух тіла на ділянці АВ (рис.1)

1. Розглянемо рух тіла на ділянці АВ (рис.1). Сприймаючи тіло за матеріальну точку, покажемо діючі на нього сили: силу ваги , нормальну реакцію і силу тертя ковзання . Складемо диференціальні рівняння руху точки на ділянці АВ:

З рівняння (2):

Підставимо значення F в рівняння (1), приймаючи до уваги, що :

або

Будемо двічі інтегрувати отримане диференціальне рівняння руху точки:

(3)

(4)

Для визначення сталих інтегрування скористаємося початковими умовами руху точки:

при .

З рівнянь (3) і (4):

Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (3) і (4):

Рівняння (3') описує залежність швидкості точки від часу.

Рівняння (4') описує залежність координати точки від часу, тобто (4') – це рівняння руху точки вздовж осі х₁.

Для моменту τ, коли тіло покидає ділянку АВ,

З рівнянь (3') і (4') маємо:

З цих рівнянь знайдемо шукані величини: =8,5 м/с, ℓ =28,5 м.

2. Розглянемо рух тіла на ділянці ВС (рис.1).

Покажемо силу ваги , що діє на тіло, і складемо диференціальні рівняння його руху:

Таким чином, диференціальні рівняння руху точки на ділянці ВС мають вид:

Будемо інтегрувати двічі кожне з цих диференціальних рівнянь:

Початкові умови руху точки на ділянці ВС:

при t=0

З рівнянь (7), (8), (9), (10), маємо:

Підставимо значення сталих інтегрування в рівняння (7), (9) і (8), (10).

Рівняння (7') і (9') – це проекції вектора швидкості точки на осі координат.

Рівняння (8') і (10') – це рівняння руху точки.

3. Для визначення рівняння траєкторії точки на ділянці ВС треба виключити з рівнянь руху параметр t.

З рівняння (8'): . Підставимо значення t в рівняння (10'):

. (11)

Підставивши числові значення в рівняння (11) і зробивши обчислення, отримаємо рівняння траєкторії точки:

4. В момент падіння в точку С:

З рівняння (11) маємо: або

, або

Оскільки траєкторією руху точки є вітка параболи з додатними абсцисами її точок,
то d =14,24 м.

5. Час Т руху точки на ділянці ВС знайдемо з рівняння (8’), приймаючи до уваги, що при :

або

6. З рівнянь (7') і (9') знайдемо проекції швидкості точки на осі координат в момент падіння в точку С, тобто при :

.

Швидкість точки в момент падіння в точку С визначимо за формулою:

Відповідь: =8,5 м/с, ℓ= 28,5 м, , d =14,24 м, Т =1,9 с, = 16,1 м/с.

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,

Дата добавления: 2014-10-31