Приклад виконання завдання Д-10

Завдання Д-10.

Механічна система під дією сил ваги починає рухатися зі стану спокою; початкове положення системи показано на рис.1. Враховуючи тертя ковзання тіла 1 і опір коченню тіла 3, яке котиться без ковзання, нехтуючи іншими силами і масами ниток, які вважаємо нерозтяжними, визначити швидкість тіла 1 в той момент, коли пройдений ним шлях буде дорівнювати S.

рис.1

Дано: маси тіл системи: Коефіцієнт тертя ковзання тіла 1 по площині: f =0,2. Шлях, пройдений тілом 1: S =1,5м. Радіуси великого і малого кола тіла 2: =15 см, =5 см. Радіус інерції тіла 2 відносно осі обертання: =10 см. Тіло 3 – однорідний циліндр радіуса =40 см.

Коефіцієнт тертя кочення тіла 3: δ =0,2 см. Кути: α=60^о, β =30^о.

Розв’язання.

1. Для розв’язання задачі застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи:

(1)

Для заданої механічної системи, яка складається з абсолютно твердих тіл, з’єднаних нерозтяжними нитками, алгебраїчна сума робіт внутрішніх сил дорівнює нулю.

Оскільки в початковому положенні механічна система знаходиться в стані спокою, то Т_о =0.

Остаточно рівняння (1) приймає вид:

(2)

Для визначення кінетичної енергії Т і суми робіт зовнішніх сил треба зобразити механічну систему в кінцевому положенні (рис.2).

рис.2

Запишемо залежності між кінематичними характеристиками тіл системи, виразивши їх через швидкість і переміщення тіла 1. Тіло1 здійснює поступальний рух зі швидкістю і проходе шлях S. Блок 2 здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю

Коток 3 здійснює плоско паралельний рух.

Точка Р є миттєвим центром швидкостей

З кінематики відомо, що

Тоді, з приведених вище формул, маємо:

або

Після інтегрування (при нульових початкових умовах) маємо:

2. Обчислимо кінетичну енергію механічної системи в її кінцевому положенні:

(3)

Кінетична енергія тіла 1, яке здійснює поступальний рух:

Кінетична енергія блока 2, який здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі:

.

Кінетична енергія котка 3, який здійснює плоско паралельний рух:

Підстановка результатів в формулу (3):

(4)

3. Покажемо на рис.2 усі зовнішні сили, що діють на тіла системи і визначимо їх роботу на заданому переміщенні. До тіла 1 прикладені:

, тому, що ця сила перпендикулярна до переміщення.

, тому, що ці сили прикладені до нерухомої точки О.

До тіла 3 прикладені:

Момент пари сил опору коченню котка 3:

, тому, що ці сили прикладені в точці Р, яка є миттєвим центром швидкостей тіла 3.

Обчислимо алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил на заданому переміщенні:

(5)

4. Підставимо результати обчислень, що визначаються співвідношеннями (4) і (5) в розрахункову формулу (2) і знайдемо шукану величину швидкості тіла 1:

або

Звідки

Відповідь: = 2,9 м/с.

ЛІТЕРАТУРА

1. Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин. Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. М., 1984.

2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М., 1983.

3. Павловский М.А., Путята Т.В. Теоретическая механика. Киев, 1985.

4. Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Киев, 1990.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986.

6. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. ч.1. М., 1984.

7. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М., 1984.

8. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под ред. А.А.Яблонского. М., 1985.

9. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. т.1. М., 1984 и т.2. М., 1985.

10. Сборник задач по теоретической механике / Бражниченко Н.А., Кан В.Л., Минцберг и др. М., 1974.

Дата добавления: 2014-10-31