Метод Гаусса

Метод Крамера

Метод обратной матрицы

Этот метод можно применять для решения систем, состоящих из уравнений с неизвестными. Если матрица коэффициентов является невырожденной (), то столбец неизвестных можно найти по формуле

. (1.9)

Таким образом, чтобы найти столбец неизвестных нужно найти матрицу, обратную матрице коэффициентов, и умножить ее на столбец свободных членов.

Метод Крамера также можно применять только для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля. Решение такой системы находится по формулам Крамера:

(1.10)

где – определитель матрицы , – определитель, полученный из заменой его i-го столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и состоит из двух этапов: прямой ход – посредством эквивалентных преобразований система приводится к треугольному виду; обратный ход – решается полученная треугольная система, начиная с последнего уравнения. Э квивалентными преобразованиями системы являются:

– умножение любого уравнения системы на произвольное отличное от нуля число;

– замена местами строк системы;

– прибавление к какому-либо уравнению системы любого другого уравнения системы, умноженного на некоторое число.

Пример 1.6. Решить систему уравнений методом обратной матрицы, с помощью формул Крамера и методом Гаусса:

Решение. 1) Матричный метод. Запишем систему в матричном виде , где

; ; .

Вычислим . Т.к. он отличен от нуля, то существует обратная матрица , которую найдем по формуле (1.6):

Пользуясь формулой (1.9), получим решение системы: ,

откуда .

2) Метод Крамера. Выше было показано, что . Найдем по формуле (1.3):

.

Далее по формулам (1.10) получим:

3) Метод Гаусса.

Прямой ход. Приведем расширенную матрицу системы к треугольному виду: .

Обратный ход. Запишем систему по приведенной матрице:

решая которую, получим .

Окончательно имеем: .

Пример 1.7. Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

Решение. Осуществим эквивалентные преобразования строк расширенной матрицы системы, чтобы привести её к треугольному виду:

.

Получили уравнение , значит, система несовместна.

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Дата добавления: 2014-10-31