Тема 2.1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок и обозначается или . Вектор характеризуется направлением и модулем (длиной) или координатами.

Пусть в ортонормированном базисе начало вектора находится в точке , а конец в точке . Тогда координаты вектора определяются по формуле:

. (2.1)

Модуль вектора в базисе вычисляется по формуле

. (2.2)

Над векторами и можно совершать следующие линейные операции:

– сложение (вычитание): ;

– умножение вектора на число: , где – некоторое число.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое символом , и удовлетворяющее условиям:

1)

2) ;

3)

4)

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называют Евклидовым.

Длиной или нормой любого вектора называют арифметическое значение корня квадратного из скалярного квадрата :

.

Угол между векторами определяется как угол, изменяющийся в пределах от 0 до радиан (от до ). Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле

(2.3)

откуда следует: .

Векторы и называются ортогональными, если угол между ними равен . Условие ортогональности векторов и : если их скалярное произведение равно нулю:

Векторы образуют ортонормированный базис линейного пространства, если эти векторы взаимно ортогональны и их длины равны единице:

Пусть векторы образуют ортонормированный базис линейного пространства. Тогда координаты векторов и в этом ортонормированном базисе записывают в виде

,

а их скалярное произведение и длины векторов принимают наиболее простую форму:

, (2.4)

Косинус угла между векторами и в произвольном ортонормированном базисе вычисляется по формуле

(2.5)

Упорядоченная тройка векторов , , с общим началом в точке называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается с конца вектора происходящим против хода часовой стрелки (рис.2.1).

Рис.2.1

Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый как , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1); (2.6)

2) и ;

3) тройка векторов , , – правая.

Если заданы координаты векторов и в ортонормированном базисе , то их векторное произведение вычисляется по формуле

(2.7)

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) , где – некоторое число;

3) .

Векторы и называются коллинеарными, если угол между ними равен 0 или радиан (или ), т.е. они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Условие коллинеарности векторов и : если существует такое число , что , т.е. соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Векторное произведение коллинеарных векторов и равно нулю:

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах:

. (2.8)

Смешанным произведением векторов , , называется число .

Если в произвольном правом ортонормированном базисе заданы координаты векторов , и , то

. (2.9)

Свойства смешанного произведения:

1) ;

2) ;

3) если, то тройка векторов ,,– правая, если

– левая;

4) .

Векторы ,называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости.

Условие компланарности векторов ,,: три вектора ,,компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения векторов ,,численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,,как на сторонах:

. (2.10)

Пример 2.1. Даны две точки , . Найти координаты вектора и координаты точки – середины отрезка .

Решение. По формуле (2.1) получаем . Пусть , тогда , , . Таким образом координаты точки .

Пример 2.2. Даны два вектора , . Найти угол между ними.

Решение. По формуле (2.5) получаем

, тогда .

Пример 2.3. Доказать, что векторы , ортогональны.

Решение. По формуле (2.4) находим: . Согласно критерию ортогональности векторы и ортогональны.

Пример 2.4. Даны два вектора , . Найти векторное произведение .

Решение. По формуле (2.7) получаем

. Следовательно, .

Пример 2.5. Вершины треугольника находятся в точках , , . Вычислить площадь треугольника.

Решение. Используя формулу (2.1), находим координаты векторов и : , . Далее, по формуле (2.7) определим :

.

Тогда

Пример 2.6. Вычислить, при каких значениях и векторы и коллинеарны.

Решение. Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т.е. , откуда находим и .

Пример 2.7. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. По формуле (2.10) . Используя формулу (2.9), находим:

. Следовательно, .

Пример 2.8. Доказать, что векторы , , компланарны.

Решение. Проверим выполнение условия компланарности. Так как , то можно утверждать, что данные векторы компланарны.

Пример 2.9. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках , , , .

Решение. Используя формулу (2.1) найдем координаты векторов, на которых построена пирамида:, , .

Пример 2.10. Выяснить, лежат ли точки , , , в одной плоскости.

Решение. Используя формулу (2.1) найдем координаты векторов: , , . Теперь проверим выполнение критерия компланарности. Так как , то векторы компланарны, а значит, точки ,, , лежат в одной плоскости.

Пример 2.11. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов , , .

Решение. Воспользуемся формулой (2.9):

Согласно свойствам смешанного произведения, знак «–» указывает на то, что вектора ,,образуют левую тройку.

Дата добавления: 2014-10-31