Тема 3.1. Пределы

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Если каждому натуральному числу n по определенному закону ставится в соответсятвие действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Например,

Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдется номер N (зависящий от ), такой, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство При этом пишут . Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, в противном случае – расходящейся. Последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой, а последовательность, предел которой равен бесконечности, – бесконечно большой. Например, – бесконечно малая последовательность, т.к. , а последовательность является бесконечно большой, т.к.

Для сходящихся последовательностей и , таких, что и , имеют место следующие теоремы о пределах:

.	.
.	.

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к числу а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b и записывают: .

Из определения предела функции следует, что все теоремы о пределах последовательностей можно обобщить на случай предела функций.

Первым замечательным пределом называют предел вида

. (3.1)

Следствия первого замечательного предела:

. (3.2)	. (3.5)
. (3.3)	. (3.6)
. (3.4)	. (3.7)

Вторым замечательным пределом называют предел вида

. (3.8)

Следствия второго замечательного предела:

. (3.9)	. (3.12)
. (3.10)	. (3.13)
. (3.11)	. (3.14)

Функция называется бесконечно малой при , если Если отношение двух бесконечно малых и стремится к единице при , то и называются эквивалентными бесконечно малыми при , что обозначается так: при .

На основании приведенных определений, а также первого и второго замечательных пределов и их следствий, можно записать следующие соотношения эквивалентности при :

. (3.15)	. (3.20)
. (3.16)	. (3.21)
. (3.17)	. (3.22)
. (3.18)	. (3.23)
. (3.19)	. (3.24)
. (3.25)

Дата добавления: 2014-10-31