Неявных функций и функций, заданных параметрически

1. Логарифмическое дифференцирование заключается в том, что сначала данную функцию логарифмируют, а затем уже приступают к дифференцированию. Оно используется при нахождении производной показательно-степенной функции . Его также целесообразно применять, когда заданная функция содержит операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. При этом используются свойства логарифмов:

.

Пример 3.14. Найти производную функции .

Решение. 1) Логарифмируем данную функцию по основанию :

.

2) Воспользовавшись свойством логарифма , получим:

.

3) Дифференцируем обе части этого равенства по , учитывая, что есть функция аргумента , а в правой части используем формулу (3.29) и табличные производные:

,

.

4) Умножим обе части последнего равенства на и, учитывая что , получаем:

.

2. Если зависимость между переменными и задана уравнением , то говорят, что функция задана неявно. Для нахождения производной такой функции дифференцируют обе части данного уравнения по и получают уравнение относительно. Затем из этого уравнения находят.

Пример 3.15. Найти производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. 1)Дифференцируем обе части уравнения по переменной , считая функцией аргумента (тогда , а ). Получим:

.

2) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Затем перенесем слагаемые, содержащие , в левую сторону и вынесем за скобки: . Отсюда находим:.

3. Функция называется заданной параметрически, если и заданы как функции параметра :

Если и – дифференцируемые функции и , то производная может быть найдена по формуле:

. (3.31)

Пример 3.16. Найти производную функции, заданной параметрически

Решение. Найдем и :

, .

Воспользовавшись формулой (3.31), получаем:

.

Дата добавления: 2014-10-31