Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба 1 страница

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , на котором она непрерывна, надо: найти критические точки, принадлежашие интервалу , и вычислить значения функции в этих точках; вычислить значения функции в граничных точках отрезка, т.е. и ; из всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 3.19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Вычислим производную функции и найдем критические точки.

.

Производная обращается в ноль в точках , и , но . Следовательно, вычисляем значение функции в критических точках , , а также на концах отрезка. Получим:

, , , . Таким образом, в точке функция принимает наибольшее значение , а в точке она принимает наименьшее значение .

График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх (выпуклый), если все точки графика функции лежат не выше любой своей касательной на этом интервале; график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вогнутый), если все точки графика функции лежат не ниже любой своей касательной на этом интервале.

Условие выпуклости (вогнутости): если функция на интервале дважды дифференцируема и () всюду на этом интервале, то график функции выпуклый (вогнутый) на .

Точка, отделяющая промежутки выпуклости и вогнутости кривой друг от друга, называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба: если при вторая производная функции не существует или равна нулю () и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой есть точка перегиба графика функции .

Пример 3.20. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

.

Вторая производная обращается в ноль в точках , и . Все эти точки принадлежат области определения функции. Исследуем знак второй производной:

Отсюда заключаем, что график функции является выпуклым на интервале , вогнутым на интервалах и . Точки и являются точками перегиба. Точка не является точкой перегиба.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1. Найти значение многочлена , если , .

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3. Выяснить, лежат ли точки , , , в одной плоскости.

4. Найти расстояние от точки до плоскости .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти точки экстремума функции .

Ответы: 1. . 2. (1; 3; –1). 3. нет. 4. . 5. а) –1; б) ; в) ; г) . 7. а) ; б) . 8. точка минимума, .

Вариант 2

1. Вычислить , если , , .

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

3. Проверить, будут ли векторы , ортогональны.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум векторам: и .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти точки экстремума функции .

Ответы: 1. . 2. (1; –3; –1). 3. нет. 4. . 5. а) 3/7; б) 0; в) 6/7; г) 3/16. 7. а) 0; б) 1. 8. точка максимума, и точки минимума, .

Вариант 3

1. Найти значение многочлена , если , .

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

3. Даны два вектора , . Найти координаты векторного произведения .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г)

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти промежутки монотонности функции .

Ответы: 1. . 2. (0; –7; 5). 3. (–11; –28; –19). 4. . 5. а) 3; б) ; в) 2; г) 3/2. 7. а) 0; б) 1. 8. возрастает на и , убывает на .

Вариант 4

1. Найти обратную матрицу , если .

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3. Найти угол между векторами и .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г)

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Ответы: 1. . 2. (–1; –2; 0). 3. . 4. . 5. а) 0; б) 0; в) ; г) 2. 7. а) ; б) 1. 8. , .

Вариант 5

1. Найти значение многочлена , если , .

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

3. Вершины треугольника находятся в точках , , . Вычислить его площадь.

4. Составить уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти точки экстремума функции .

Ответы: 1. . 2. (1; 6; 5). 3. . 4. . 5. а) ; б) –1/48; в) ; г) –2. 7. а) ; б) . 8. точка минимума, .

Вариант 6

1. Даны матрицы , , . Найти значение .

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

3. Вычислить, при каких значениях и векторы и коллинеарны.

4. Найти угол между прямыми и .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти точки перегиба функции .

Ответы: 1. . 2. (0; 4; 5). 3. , . 4. . 5. а) 5/2; б) ; в) ; г) 0. 7. а) ; б) . 8. и – точки перегиба.

Вариант 7

1. Найти значение многочлена , если , .

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

4. Составить каноническое уравнения прямой, проходящей через точки и .

5. Вычислить пределы:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

6. Вычислить производную :

а) ;	б) ;
в) ;	г)

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а) ;

б) .

8. Найти промежутки монотонности функции .

Ответы: 1. . 2. (3; –1; –4). 3. 15. 4. . 5. а) ; б) 1/4; в) 1/3; г) . 7. а) 4/9; б) 1. 8. возрастает на и , убывает на .

Дата добавления: 2014-10-31