Техника вычисления пределов

При нахождении предела когда и – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при , принято говорить, что отношение при представляет собой неопределенность вида (соответственно, ). Аналогично вводятся неопределенности вида , , а также , и , которые встречаются при нахождении пределов , и . Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

1. Раскрытие неопределенностей вида .

К таким неопределенностям приводит, как правило, вычисление пределов вида где P (x) и Q (x) – функции целой или дробной степени переменной х. Для вычисления пределов такого вида необходимо исходные бесконечно большие функции заменить на эквивалентные им бесконечно большие функции.

Пример 3.1. Вычислить пределы:

а) ;

б) .

Решение. а) При подстановке предельного значения в функцию получаем неопределенность . Исходные бесконечно большие функции заменим на эквивалентные им бесконечно большие функции при :

б) Исходные бесконечно большие функции заменим на эквивалентные им бесконечно большие функции при :

Пример 3.2. Вычислить предел .

Решение. Исходные бесконечно большие величины заменим на эквивалентные им бесконечно большие величины при : .

Пример 3.3. Вычислить предел .

Решение. Необходимо напомнить, что , . Тогда, заменяя исходные бесконечно большие величины на эквивалентные им бесконечно большие величины при , получим:

.

2. Раскрытие неопределенностей вида .

1) Пределы вида где и – многочлены степени соответственно n и m. Общий прием в таких случаях – разделить числитель и знаменатель дроби на бином (x – a), после чего опять подставить предельное значение. Если неопределенность сохраняется, процедуру повторить. Во многих случаях удается выделить в числителе и знаменателе критический множитель (x – a), применяя алгебраические преобразования, формулы сокращенного умножения и разложение на множители квадратного трехчлена:

.
.	.
.	.
, где .

Пример 3.4. Вычислить .

Решение. Разделим числитель на знаменатель в столбик:

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разложим его на множители: . Тогда

.

2) Пределы вида где и – функции, содержащие иррациональность.

Пример 3.5. Вычислить предел .

Решение. Домножим числитель и знаменатнль дроби на выражение, сопряженное к числителю, а выражение разложим на множители:

3) Пределы, содержащие тригонометрические функции, решаются сведением к первому замечательному пределу (3.1) с помощью преобразований тригонометрических выражений, а также деления числителя и знаменателя на х в соответствующей степени, либо используя эквивалентные бесконечно малые функции (формулы (3.15)–(3.25)).

Пример 3.6. Вычислить предел .

Решение. Воспользуемся формулой , а затем разделим числитель и знаменатель дроби на :

=[применим следствие (3.3)].

Этот же предел можно вычислить, воспользовавшись эквивалентными бесконечно малыми (3.15) и (3.25):

4) Эквивалентные бесконечно малые также удобно применять при нахождении пределов, содержащих логарифмические и показательные функции.

Пример 3.7. Вычислить пределы:

а) ;

б) .

Решение. а) Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми (3.18), (3.20), (3.21):

.

б) Для того чтобы воспользоваться формулой (3.22), в числителе дроби добавим и отнимем единицу:

Пример 3.8. Вычислить пределы:

а) ;

б) .

Решение. а) Так как при , то можно применить формулу (3.15):

.

б) При подстановке получаем неопределенность . Сделаем замену . Тогда , причем при .

3. Раскрытие неопределенностей вида .

Пример 3.9. Вычислить предел.

Решение. Имеем неопределенность . Умножим и разделим выражение на сопряженный множитель . Получим

.

4. Неопределенности вида часто удается свести к неопределенностям или .

Пример 3.10. Вычислить пределы:

а);

б).

Решение. а) При подстановке значения в функцию получаем неопределенность . Воспользуемся формулой . Тогда

.

б) Принимая во внимание, что , имеем

.

5. Неопределенности вида с помощью преобразований приводятся ко второму замечательному пределу (3.8).

Пример 3.11. Вычислить предел .

Решение. Так как , а , то имеем неопределенность . Выделим в числителе выражение, равное знаменателю, и разделим почленно числитель на знаменатель:

.

Приведем это выражение к виду , чтобы использовать второй замечательный предел :

.

Для раскрытия неопределенности можно также воспользоваться формулой:

. (3.26)

Пример 3.12. Вычислить предел .

Решение. Воспользуемся формулой (3.26) и эквивалентными бесконечно малыми (3.15) и (3.25):

.

6. Неопределенности вида и с помощью

преобразований приводятся к неопределенностям вида и , а затем применяют правило Лопиталя, которое будет рассмотрено ниже.

Дата добавления: 2014-10-31