Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей размера называется совокупность элементов некоторого множества , расположенных в видепрямоугольной таблицы, состоящей из n строк и m столбцов:

Если , то матрица называется квадратной порядка . Элемент таблицы имеет два индекса, где i – номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Диагональ, содержащая элементы , , …, , называется главной диагональю квадратной матрицы , а диагональ, содержащая элементы , , …, – побочной диагональю.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой .

Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Транспонированной кматрице называется матрица , полученная заменой каждой строки исходной матрицы столбцом с тем же номером.

Для матриц определены следующие операции:

1) сложение (вычитание)определено только для матриц одинаковых размерностей. Если , то каждый элемент матрицы вычисляется по формуле: .

2) умножение матрицы А на число состоит в умножении каждого элемента матрицы A на это число: .

3) умножение матриц определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т. е. , при этом элемент i -й строки j -го столбца матрицы C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B: .

4) возведение матрицы в степень определено только для квадратной матрицы. Целой положительной степенью квадратной матрицы A называется произведение k матриц, каждая из которых равна A.

Пример 1.1. Для

вычислить

Решение.

Пример 1.2. Найти для ,если .

Решение.

Дата добавления: 2014-10-31