Уравнение Слуцкого. Различные типы товаров

Задача потребителя. Функция спроса на товары в зависимости от доходов и цен

Потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность при ограниченности дохода:

, (5.2)

, (5.3)

. (5.4)

Теорема. Решение задачи (5.2) – (5.4) существует и принадлежит границе бюджетного множества.

Действительно, так как – непрерывная функция своих аргументов, а бюджетное множество ограничено и замкнуто, то по теореме Вейерштрасса достигает максимум на множестве B, т.е. решение задачи потребителя существует.

Предположим, что точка x * максимума функции u (x) не принадлежит границе бюджетного множества, тогда . В этом случае потребитель имеет неиспользованное количество денег и на эту сумму он может приобрести дополнительный набор товаров . Рассмотрим набор , тогда , т.е. .

Тогда задачу потребительского выбора можно заменить задачей

, (5.5)

, (5.6)

. (5.7)

Эта задача на условный экстремум сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа

.

Необходимые условия локального экстремума:

, i = 1, 2,..., n, (5.8)

. (5.9)

Если разрешить (5.8), (5.9) относительно x, получим функцию спроса потребителя

. (5.10)

Функция спроса (точка спроса) есть функция цен и дохода. Точка спроса лежит на границе бюджетного множества. Доказано, что эта точка характеризуется тем, что в ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен или в точке спроса отношение предельных полезности товара к его цене величина постоянная.

При исследовании функции спроса используется уравнение Слуцкого

,

характеризующее количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса – с другой.

В левой части уравнения стоит изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены при неизменных остальных ценах и доходе, которое складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (изменение реальной возможности приобретать товар в результате изменения цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары (компенсированное изменение цены).

Назовем n -й товар ценным, если , т.е. если при увеличении дохода спрос на этот товар растет, и малоценным в противном случае.

Спрос на ценный товар падает при увеличении цены на него.

Два товара i, j называются взаимозаменяемыми, если , т.е. если при возрастании цены на товар i при компенсирующем изменении дохода с одновременным падением спроса на товар i возрастет спрос на товар j. Например, животное масло и растительное масло.

В том случае, когда , то говорят – товары образуют взаимодополнительную пару (увеличение цены на бензин приводит к падению спроса на бензин и к падению спроса на автомобили). Продукт j называется валовым заменителем продукта i, если .

Функция спроса обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой продукт i спрос на остальные продукты не убывает: , . В том случае, когда , то функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости.

Выводы

1. Функция полезности (функцией предпочтений) может служить моделью поведения потребителя товаров и услуг и рассматриваться как целевая функция потребления. Потребитель стремится максимизировать эту функцию (с учетом ограничений, накладываемых на доходы, цены и т.д.). Из математических свойств данной функции выделим одно: она должна иметь положительную первую производную, что означает: при увеличении объема благ увеличивается и полезность. Выбирая между разными наборами благ, потребитель, очевидно, предпочтет те из них, полезность которых больше.

2. Точка спроса (функция спроса) есть функция цен и дохода, в которой выполняются необходимые условия локального экстремума функции полезности. Точка спроса лежит на границе бюджетного множества. Эти функции применяются в аналитических моделях спроса ипотребления.

3. Можно доказать, что точка спроса характеризуется тем, что в ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен или в точке спроса отношение предельных полезности товара к его цене величина постоянная или в точке спроса предельная норма замещения одного товара другим равна обратному отношению цен.

4. Наибольшее распространение получили однофакторные функции, отражающие зависимость спроса от уровней семейных доходов. Соответствующие этим функциям кривые названы кривыми Э. Энгеля по имени впервые изучившего их немецкого ученого. Большую роль играет коэффициент эластичности, показывающий относительное изменение потребления при изменении дохода на единицу. Коэффициенты эластичности различны для разных благ в зависимости от степени удовлетворения соответствующей потребности и ее настоятельности.

5. Точка спроса строится также для анализа соотношения спроса и цен. Для большинства благ действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот.

6. Уравнения Слуцкого – уравнения, характеризующие количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса – с другой. Наиболее просто основное уравнение Слуцкого формулируется так: изменение спроса = эффект изменения дохода + эффект замещения. Иными словами, изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (т.е. изменения реальной возможности приобретать данный товар в результате изменения цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары (" Компенсированное изменение цены ").

Дата добавления: 2014-10-31