Гомотетия и подобие, центральная и зеркальная симметрии

Гомотетия и подобие. Гомотетия — преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ста­вится в соответствие точка М\ лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ':ОМ= \ одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ':ОМ считают положительным, если М' и М лежат по одну сторону от О, отрицательным — по раз­ные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Х< О гомотетию называют обратной. При Х = — 1 гомоте­тия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохра­няется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей по­добную (рис. 5.17).

Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быть оп­ределена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку — центр гомотетии. Гомотетию применяют для увеличе­ния изображений (проекционный фонарь, кино).

Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широ­ком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характе­ризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает сим­метрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещаю­щих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующая-

м

Рис. 5.16

Рис. 5.17

ся в себя при зеркальном отражении, симметрична относитель­но прямой — оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов — точка М преобразуется в М'.

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относи­тельно какой-либо точки О на угол 360°/я, где я > 2 целое чис­ло, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией я-го порядка относительно точки О — центра симметрии. Пример таких фигур — правильные многоугольники, например звезд­чатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь — так называемая циклическая группа я-го порядка. Окружность об­ладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмеща­ется с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной симметрии явля­ется центральная симметрия (инверсия). В этом случае отно­сительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендику­лярных плоскостей, т. е. точка О — середина отрезка, соеди­няющего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии. Точки М и М' куба

Рис. 5.19

симметричны как относительно осей АВ и CD, так и относитель­но центра О.

В случае осевой симметрии, или симметрии относительно пря­мой л-го порядка, фигура накла­дывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симмет­рии) на угол 360°/я. Например, для куба (см. рис. 5.20) прямая АВ — ось симметрии третьего поряд­ка, CD — ось симметрии четвертого порядка. Вообще правильные многогранники симметричны от­носительно ряда прямых.

1. Какие способы преобразования чертежа рассмотрены в главе 5? В чем заключается их основное различие?

2. В чем заключается способ, называемый способом перемены плос­костей проекций?

3. Какие положения в системе V, //должна занять плоскость проек­ций S, вводимая для образования системы S, HI

4. Какое положение в системе V, Н займет плоскость проекций Т при последовательных переходах от V, Я через S, Нк S, Г?

5. Как найти длину отрезка прямой общего положения и углы наклона этой прямой к плоскостям Vvi H, вводя дополнительные плоско­сти проекции?

6. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему V, Н, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к плоскости Н или к плоскости VI

7. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему V, Н, чтобы заданная прямая общего поло­жения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоско­сти проекций?

8. Сколько (и в какой последовательности) надо ввести дополнитель­ных плоскостей проекций в систему V, Н, чтобы получить нату­ральный вид фигуры, плоскость которой является плоскостью общего положения?

9. Как определить расстояние между двумя скрещивающимися пря­мыми?

10. Что такое плоскость вращения точки и как она располагается при повороте вокруг вертикальной оси?

11. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг оси, не перпендикулярной фронтальной плоскости проекций?

12. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей ве­личины при вращении вокруг вертикальной оси?

13. В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой ли­нии по отношению: а) к горизонтальной плоскости проекций; б) к фронтальной плоскости проекций?

14. Можно ли показать на чертеже поворот отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной или фронтальной плоскости проекций, не изображая самой оси? На чем основан такой прием?

15. Как располагают плоскость вращения точки, если ее ось враще­ния параллельна горизонтальной или фронтальной плоскости про­екций, а не перпендикулярна к ней? Почему при этом приходится определять натуральную величину радиуса вращения?

16. Что такое способ совмещения?

Глава шестая ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Дата добавления: 2014-11-06