Параллельный колебательный 2 страница

4.9. Влияние внутреннего сопротивления источника

сигнала и нагрузки на резонансные свойства контура

Рассмотрим контур с подключенным реальным источником напряжения ( - его внутреннее сопротивление) и сопротивлением нагрузки (рис. 4.15). Можно провести анализ этой цепи отдельно, однако целесообразнее преобразовать

ее к уже рассмотренной цепи вида рис. 4.5 (с идеальным источником напряжения и без нагрузки) и воспользоваться уже полученными результатами анализа.

Рис. 4.15

Как видно, сопротивление источника просто складывается с , увеличивая сопротивление потерь контура. Нагрузка же подключена параллельно емкости, и тогда параллельное соединение необходимо эквивалентно преобразовать в последовательное соединение элементов (как по-

Рис. 4.16 казано на рис. 4.16). Эти

цепи эквивалентны, если равны их полные комплексные сопротивления, тогда получим

.

Преобразуя дроби и приводя обе части равенства к алгебраической форме записи комплексных чисел, можно записать

.

Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны отдельно их действительные и мнимые части, поэтому после алгебраических преобразований получим два уравнения для неизвестных ,

, (4.52)

. (4.53)

Проделайте необходимые преобразования самостоятельно.

Как видно, эквивалентные параметры последовательной цепи зависят от частоты и, строго говоря, такое преобразование возможно только на фиксированной частоте. При анализе колебательного контура интерес представляет окрестность его резонансной частоты , поэтому в (4.52) и (4.53), приняв и условие

, (4.54)

получим

, (4.55)

. (4.56)

Эти равенства является точными на частоте и приближенными в ее окрестности. На рис. 4.17 показаны зависимости эквивалентных сопротивления и емкости от абсолютной

расстройки при нФ и рад/с и различных значениях сопротивления нагрузки . Как видно, при больших , и особенно при выполнении условия (4.54), величины и практически постоянны в широкой окрестности резонансной частоты.

Рис. 4.17

Таким образом эквивалентная схема последовательного колебательного контура с реальным источником сигнала и нагрузкой имеет вид, показанный на рис. 4.18, где - эквивалентное сопротивление потерь, рав-

Рис. 4.18 ное

. (4.56)

Контур рис. 4.18 уже изучен, его резонансные свойства определяются эквивалентной добротностью ,

. (4.57)

Как видно, внутреннее сопротивление источника сигнала снижает эквивалентную добротность, его влияние будет мало, если

или , (4.58)

Собственное сопротивление потерь достаточно мало (доли Ома - единицы Ом), поэтому источник сигнала для последовательного колебательного контура должен быть практически идеальным.

Нагрузка контура также снижает его добротность, чем больше , тем меньше падает . Для того, чтобы влияние нагрузки было невелико, необходимо выполнение условия

или . (4.59)

На практике величина характеристического сопротивления составляет сотни Ом – килоОмы, добротность лежит в пределах от нескольких десятков до 150, тогда произведение составляет десятки - сотни килоОм. С учетом сделанных оценок необходимое сопротивление нагрузки при условии (4.59) оказывается достаточно большим, например, 1 МОм, что крайне сложно обеспечить на практике.

Для ослабления влияния нагрузки на добротность контура используют ее неполное включение, один из вариантов схемы показан на рис. 4.19.

Рис. 4.19

Проведите самостоятельно анализ этой цепи аналогично предыдущей, преобразовав параллельное соединение в последовательное, получите выражение для эквивалентной добротности, в результате можно записать

, (4.60)

где - коэффициент включения нагрузки в контур, равный

. (4.61)

Требования к сопротивлению нагрузки определяются неравенством

, (4.62)

что значительно слабее (4.59). Например, при кОм и (типичное значение) необходимо выполнение условия кОм, что вполне приемлемо на практике.

4.10. Расчеты цепей с последовательными

колебательными контурами

Расчет гармонических токов и напряжений в электрических цепях с колебательными контурами проводится методом комплексных амплитуд чаще всего в координатах обобщенной расстройки.

Рассмотрим пример, показанный на рис. 4.20, в котором на заданной частоте рад/с при Ом, мГн, нФ, Ом и В необходимо определить комплексную амплитуду напряжения на нагрузке . Расчет в координатах частоты будет достаточно громоздким (проведите его самостоятельно, чтобы убедиться в этом). Рис. 4.20

Резонансная частота

контура равна

,

а добротность соответственно

.

В координатах обобщенной расстройки , равной

,

сопротивление последовательного колебательного контура равно Ом.

Сопротивление параллельного соединения контура с нагрузкой определяется выражением

Ом.

Вычислим общее сопротивление цепи,

,

в результате получим

Ом.

Комплексная амплитуда тока в цепи равна

а напряжения на нагрузке соответственно

В.

Переход к координатам обобщенной расстройки существенно упрощает расчеты цепей с колебательными контурами. При расчетах широко используют известные выражения для коэффициента передачи и других характеристик контура.

Рассмотрим пример, показанный на рис.4.21 при В рад/с, Ом, мГн и нФ. Необходимо рассчитать мгновенные значения напряжения на емкости последовательного колебательного контура .

Резонансная частота и добротность равны Рис. 4.21

, ,

тогда для обобщенной расстройки получим

.

Комплексный коэффициент передачи определяется выражением

,

тогда комплексная амплитуда напряжения на емкости равна

В,

а для его мгновенных значений получим

В.

4.11. Моделирование последовательного колебательного

контура

На рис. 4.22 показана модель последовательного колебательного контура Ом, мГн и пФ с нагрузкой МОм в пакете программ MicroCAP7. На рис. 4.23 приведены результаты моделирования в АЧХ и ФЧХ режиме «Stepping» при изменении сопротивления потерь от 50 Ом (верхние кривые) до 150 Ом (нижние

кривые) с шагом 50 Ом.

Рис.4.22 На рис. 4.24 пока-

заны аналогичные зависимости при Ом и изменении сопротивления нагрузки от МОм (нижние кривые) до МОм верхние кривые) с шагом 1МОм.

Как видно по результатам моделирования, максимум АЧХ снижается с ростом сопротивления потерь и уменьшением сопротивления нагрузки, причем даже при большом МОм добротность контура существенно уменьшается. При этих условиях АЧХ и ФЧХ становятся более пологими.

На рис. 4.25 представлены результаты моделирования контура при изменении его емкости от 100пФ (правая кривая) до 200пФ (левая кривая) с шагом 50 пФ для Ом. Такие изменения происходят при настройке колебательного контура в радиоприемнике с помощью конденсатора переменной емкости.

Проведите расчеты, подтверждающие результаты моделирования, например, вычислите максимальные значения АЧХ при соответствующих параметрах цепи.

4.12. Применение последовательного колебательного

контура

Последовательный колебательный контур широко используется как узкополосный частотный фильтр. Таким фильтром является преселектор (предварительный селектор), который присутствует в любом супергетеродинном радиоприемнике (факультативно поинтересуйтесь у преподавателя, как работает супергетеродинный радиоприемник), его условная схема показана на рис. 4.26. Антенна приемника включена в контур как источник сигнала, а напряжение с емкости подается на вход усилителя высокочастотного сигнала (УВЧ), входное сопротивление которого является нагрузкой колебательного контура. Так как транзисторный УВЧ имеет невысо-

Рис. 4.26 кое входное сопротивление,

то используется неполное включение нагрузки. Задача преселектора – фильтрация «зеркального канала» приема в супергетеродинном приемнике.

На базе последовательного колебательного контура можно реализовать режекторный фильтр, пример которого показан на рис. 4.27. На рис 4.28 показана его модель при мГн, нФ и Ом, сопротив-

лении потерь катушки ин-

дуктивности Ом и сопротивлении нагрузки

Рис. 4.27 кОм, а на рис. 4.29 –

АЧХ и ФЧХ.

Рис. 4.28

Рис. 4.29

Как видно, фильтр подавляет сигнал в окрестности частоты 160 кГц. Нетрудно спроектировать такой фильтр на частоту 50 или 100 Гц, что часто необходимо в биомедицинской аппаратуре, питающейся от силовой сети переменного тока 220В с частотой 50 Гц (проведите необходимые расчеты и схемотехническое моделирование).

4.13. Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Определите сопротивление потерь колебательного контура при , рад/с и мГн.

Задание 4.2. Определите сопротивление потерь колебательного контура при полосе пропускания рад/с и мГн.

Задание 4.4. Определите полосу пропускания колебательного контура при рад/с, нФ и сопротивлении потерь Ом.

Задание 4.4. Определите добротность колебательного контура при рад/с и полосе пропускания рад/с.

Задание 4.5. Определите напряжение на катушке индуктивности контура рис. 4.30 при мГн, пФ,

Ом, В, Ом и рад/с. Расчет проведите обычным методом комплексных амплитуд и используя теорию колебательных контуров в координатах обобщенной расстройки, сравните результаты.

Рис. 4.30

Задание 4.6. Определите напряжение на емкости контура рис. 4.31 при мГн, нФ, Ом, В, Ом и рад/с. Расчет проведите обычным

методом комплексных амплитуд и используя теорию колебательных контуров в координатах обобщенной расстройки

сравните результаты. Рис. 4.31

Задание 4.7. Вычислите резонансные значения тока и напряжение на емкости контура при мГн, нФ, Ом и ЭДС идеального источника напряжения В.

Задание 4.8. В координатах обобщенной расстройки вычислите напряжение на нагрузке в цепи на рис. 4.32 при В, мГн, нФ, Ом, Рис. 4.32

Ом, кОм и рад/с.

Задание 4.9. Получите выражение для АЧХ цепи, показанной на рис. 4.33, постройте ее график. Проанализируйте влияние нагрузки и сопротивлений и на форму АЧХ.

Рис. 4.33

Дата добавления: 2014-11-25