Основные понятия теории цепей 2 страница

На рис. 1.15б показана ВАХ идеального источника постоянного тока . И для этой модели с ростом напряжения мощность, отдаваемая источником в нагрузку, стремится к бесконечности.

1.8. Основы топологического описания цепи

Электрической цепью называют совокупность соединенных между собой источников, потребителей и преобразователей электрической энергии, процессы в которых описываются в терминах тока и напряжения.

Физическая электрическая цепь (электронное устройство) состоит из физических элементов – резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, диодов, транзисторов и большого числа других электронных элементов. Каждый из них имеет условно-графическое обозначение в соответствии со стандартом – единой системой конструкторской документации (ЕСКД). Соединение этих элементов между собой графически представляется принципиальной схемой цепи (фильтра, усилителя, телевизора). Пример принципиальной схемы транзисторного усилителя показан на рис. 1.16.

Рис. 1.16

Сейчас мы не будем обсуждать работу усилителя и на-

значение его элементов, а лишь отметим условно-графические обозначения использованных элементов, которые отдельно показаны на рис. 1.17. Жирной точкой отмечены электрические соединения элементов.

Рис. 1.17 Как видно, графические

обозначения резистора и конденсатора совпадают с обозначениями их моделей - сопротивления и емкости, а обозначения других отличаются.

Для расчета цепей используют их эквивалентные схемы или схемы замещения, которые показывают соединения моделей элементов, образующих электрическую цепь. Каждый физический элемент принципиальной схемы заменяется соответствующей моделью, которая может состоять из одной или нескольких простейших идеальных моделей (сопротивления, емкости, индуктивности или источников сигнала). Примеры моделей физических элементов показаны на рис. 1.18.

Рис. 1.18

Резистор и конденсатор чаще всего представляются своими идеальными моделями с теми же условно-графическими обозначениями. Катушка индуктивности может быть представлена идеальной индуктивностью, однако в ряде случаев необходимо учитывать ее сопротивление потерь . В этом случае модель катушки индуктивности представляется последовательным соединением идеальной индуктивности и сопротивления, как показано на рис. 1.18.

На рис. 1.19 в качестве примера показаны принципиальная схема параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора (такую цепь называют параллельным колебательным контуром) и эквивалентная схема этой цепи (катушка индуктивности заме-

нена последователь-

ным соединением Рис. 1.19

идеальной индуктив-

ности и сопротивления).

Эквивалентная схема цепи является ее топологическим описанием. С геометрической точки зрения в нем можно выделить следующие основные элементы:

- в етвь – последовательное соединение нескольких, в том числе и одного, двухполюсных элементов, в том числе и источников сигнала;

- узел - точка соединения трех и более ветвей;

- контур – замкнутое соединение двух и более ветвей.

На рис. 1.20 показан пример эквивалентной схемы цепи с обозначением ветвей, узлов (жирными точками) и контуров (замкнутыми линиями). Как видно, узел может представлять

собой не одну точку соединения, а несколько (распределенный узел, охваченный пунктирной линией).

Рис. 1.20

В теории цепей существенное значение имеет число узлов эквивалентной схемы и число ветвей . Для цепи на рис. 1.20 имеется узлов и ветвей, одна из которых содержит только идеальный источник тока.

1.9. Соединения элементов цепи

Двухполюсные элементы электрической цепи могут соединяться между собой различным образом. Различают два простейших соединения: последовательное и параллельное.

Последовательным называют такое соединение двухполюсников, при котором через них протекает одинаковый ток. Его пример показан на рис. 1.21. В состав цепи на рис. 1.21 входит пассивные (R и C) и активные (идеальные источники напряжения и ) эле-

Рис. 1.21 менты, через которые проте-

кает один и тот же ток .

В сложной цепи (например, на рис. 1.20) можно выделять простые фрагменты (ветви) с последовательным соединением элементов (ветвь с источником , пассивные ветви и ).

Не имеет смысла соединять последовательно два идеальных источника тока или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Параллельным называют соединение двух и более ветвей с одной и той же парой узлов, при этом напряжения на параллельных ветвях одинаковы. Пример показан на рис. 1.22. Если ветви содержат по одному элементу, то говорят о параллельном соединении элементов. Например, на рис. 1.22 идеальный источник тока и сопротивление Рис. 1.22

соеди нены параллельно.

Не имеет смысла соединять параллельно идеальные источника напряжения или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Смешанным называют соединение элементов (ветвей) цепи, которое нельзя рассматривать как последовательное или параллельное. Например, схема на рис. 1.21 является последовательным соединением элементов, а на рис. 1.22 –параллельным соединением ветвей, хотя в ветвях и элементы соединены последовательно.

Схема на рис. 1.20 является типичным представителем смешанного соединения, и в ней можно выделить лишь отдельные фрагменты с простыми соединениями.

1.10. Законы Кирхгофа для мгновенных значений сигналов

Два закона Кирхгофа устанавливают уравнения электрического равновесия между токами в узлах и напряжениями в контурах цепи.

Под алгебраическим суммированием понимают сложение или вычитание соответствующих величин.

Можно использовать и другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма мгновенных значений втекающих в узел токов равна сумме мгновенных значений вытекающих токов.

Пример схемы цепи показан на рис. 1.23, она повторяет схему на рис. 1 20 с указанием положительных направлений и обозначений токов и напряжений во всех элементах, а также номеров узлов (в кружках).

Рис. 1.23

В цепи четыре узла и для каждого из них можно записать уравнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов ветвей,

- узел 0: ;

- узел 1: ;

- узел 2: ;

- узел 3: .

Нетрудно убедиться, что если просуммировать уравнения для узлов и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 0. Следовательно, одно из уравнений (любое) линейно зависимо от остальных, и должно быть исключено. Таким образом, система уравнений по первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.23 может быть записана в виде

Очевидно, можно записать и другие варианты этой системы уравнений, но все они будут эквивалентны.

Физическим обоснованием первого закона Кирхгофа является принцип не накопления заряда в узле цепи. В любой момент времени заряд, поступивший в узел от втекающих токов должен быть равен заряду, покидающему узел за счет вытекающих токов.

Для выбора знаков в алгебраических суммах необходимо задать положительное направление обхода контура (чаще всего его выбирают по часовой стрелке). Тогда, если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода, то в алгебраической сумме записывается знак плюс, а иначе – знак минус.

Независимыми называют контуры, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

В схеме на рис. 1.23 , (одна ветвь содержит идеальный источник тока) и . Тогда в ней имеется независимых контура. Как видно, общее число контуров существенно больше .

Выберем следующие независимые контуры:

- e,R₁,C₁,

- C₁,R₂,C₂,C₃,

- C₃R₃,L,R₄,

с положительным направлением обхода по часовой стрелке и для них запишем уравнения второго закона Кирхгофа в виде

(1.34)

Можно выбрать и другие независимые контуры, например,

- e,R₁,C₁,

- C₁,R₂,C₂,C₃,

- e,R₁,R₂,C₂,C₃,

и для них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы – законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС – работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.

1.11. Реальные источники сигнала

Рассмотренные выше идеальные источники напряжения и тока не всегда пригодны для формирования адекватных моделей электронных устройств. Основная причина этого - возможность передачи ими в нагрузку бесконечной мощности. В этом случае используют усложненные модели источников сигнала, которые называют реальными.

Эквивалентная схема (модель) реального источника напряжения показана на рис. 1.24. В ее состав входят идеальный источник напряжения и внутреннее сопротивление реаль-

ного источника . К источнику подключено сопротивление нагрузки . По второму закону Кирхгофа можно записать

, (1.35)

а по закону Ома для сопротив-

Рис. 1.24 ления

. (1.36)

Подставляя (1.36) в (1.35) получим

,

откуда следует уравнение для вольт-амперной характеристики реального источника напряжения

, (1.37)

график которой для постоянных значений тока и напряжения приведен на рис. 1.25. Пунктирной линией показана вольтамперная характеристика идеального источника напряжения. Как видно, в реальном источнике максимальный ток ограничен, а

Рис. 1.25 значит отдаваемая им мощность не

может быть бесконечной.

При постоянном напряжении мощность, отдаваемая реальным источником (рис. 1.24) в нагрузку, равна

. (1.38)

Зависимость при В и Ом показана на рис. 1.26. Как видно, максимальная мощность реального источника ограничена

чена и равна при . Рис. 1.26

Вольтамперная характеристика реального источника напряжения при стремится к характеристике идеального источника рис. 1.14. Таким образом, можно определить идеальный источник напряжения как реальный источник с нулевым внутренним сопротивлением (внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю).

Эквивалентная схема реального источника тока показана на рис. 1.27. В ее состав входит идеальный источник тока и внутреннее сопротивление , к источнику подключена нагрузка . Уравнение первого закона Кирхгофа для одного из узлов цепи рис. 1.27 имеет вид

. (1.39) Рис. 1.27

По закону Ома , тогда из (1.39) получим выражение для вольт-амперной характеристики реального источника тока

. (1.40)

Для постоянного тока эта зависимость показана на рис. 1.28. Как видно, максимальное напряжение, выдаваемое источником в нагрузку, ограничено величиной при бесконечном сопротивлении нагрузки. Мощность постоянного

Рис. 1.28 тока, отдаваемая в нагрузку, равна

. (1.41)

Она имеет вид, аналогичный рис. 1.26, соответствующий график при мА и Ом постройте самостоятельно. Максимум мощности достигается при и равен .

При стремящемся к бесконечности внутреннем сопротивлении вольтамперная характеристика реального источника тока стремится к характеристике идеального источника (рис. 1.15б). Тогда идеальный источник можно рассматривать как реальный с бесконечным внутренним сопротивлением.

Сравнивая вольтамперные характеристики реальных источников напряжения и тока на рис. 1.25 и рис. 1.28, нетрудно убедиться, что они могут быть одинаковы при условиях

(1.42)

Это означает, что эти источники при условии (1.42)

эквивалентны, то есть в схемах замещения электрических цепей реальный источник напряжения можно заманить реальным источником тока и наоборот. Для идеальных источников такая замена невозможна.

1.12. Система уравнений электрической цепи

для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Рис. 1.29

· Определяются узлы цепи (в схеме рис. 1.29 их число равно ) и выбираются независимые контуры, их количество равно , где - число ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока (в примере и ).

· Для каждой ветви и каждого элемента цепи записываются уравнения закона Ома (табл. 1.1). Для схемы на рис. 1.29 получим

(1.43)

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называют подсистемой компонентных уравнений. Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

· Для каждого из узлов составляются уравнения первого закона Кирхгофа (один из узлов не используется).

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32)

(1.44)

Всего формируется уравнений.

· В цепи выбирается независимых контуров, для которых составляются уравнения второго закона Кирхгофа.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода. Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34)

(1.45)

Общее количество уравнений равно .

Уравнения, сформированные по первому и второму законам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений, так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей , не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим

(1.46)

(1.46’)

Подставляя (1.46) в уравнения второго закона Кирхгофа вида (1.45), получим систему уравнений для токов ветвей

(1.47)

Рассмотренный подход к формированию уравнений электрического равновесия цепи называют методом токов ветвей. Количество полученных уравнений равно числу ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока.

Как видно, модель линейной цепи для мгновенных значений токов и напряжений вида (1.43), (1.44), (1.45) или (1.47) является линейной системой интегро-дифференциальных уравнений.

1.13. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1. Напряжение на емкости C изменяется, как показано на рис. 1.30. Получите выражение для тока емкости , мгновенной мощности и накопленной энергии , по-

стройте графики полу- Рис. 1.30

ченных функций.

Задание 1.2. Напряжение на сопротивлении R изменяется, как показано на рис. 1.31. Получите выражение для напряжения емкости , по-стройте график (через необходимо оп-

ределить ток ,

а затем – напря- Рис. 1.31

жение ).

Задание 1.3. Напряжение на параллельном соединении сопротивления R и индуктивности L изменяется, как показано на рис. 1.32. Запишите выражение для общего тока , постройте его график (необходимо

найти токи ветвей, а за- Рис. 1.32

тем их сумму – ток ).

Задание 1.4. В схемах цепей, показанных на рис. 1.33, определите число узлов и ветвей, количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

1.33

Задание 1.5. Для цепей, эквивалентные схемы которых показаны на рис. 1.33, запишите полные системы уравнений по закону Ома, первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Задание 1.6. Для цепи, показанной на рис. 1.34, запишите полную систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Рис. 1.34

Дата добавления: 2014-11-25