Метод комплексных амплитуд

5.1. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( - мнимая единица), определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его частоты.

Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху (в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда имеет вид В или В.

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

5.2. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде

, (5.2)

где - действительная, а - мнимая части комплексного числа, .

В показательной форме комплексное число представляется выражением

, (5.3)

величину называют модулем, а - аргументом комплексного числа.

От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (5.4)

а аргумент

(5.5)

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(5.6)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(5.7)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

. (5.8)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

, (5.9)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,

. (5.10)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что ,

. (5.11)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число

равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (5.12)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(5.13)

Рассмотрим пример и , тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда

,

,

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

5.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд

токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

5.4. Комплексные сопротивления и проводимости

элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).

Таблица 5.2

	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать

, (5.17)

где - сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (5.17) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

5.5. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а при кОм и пФ на частоте кГц равно кОм,

а проводимость параллельной Рис. 5.1.

цепи на рис 5.1б -

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(5.18)

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов

и определяется его сопро-

тивление , равное Рис. 5.2

.

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

.

Подставляя исходные данные, получим Рис. 5.3

Ом.

5.6. Характеристики комплексного сопротивления

и проводимости

Полное комплексное сопротивление в показательной форме можно записать в виде

. (5.19)

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

. (5.20)

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током,

, (5.21)

Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид

, (5.22)

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

, (5.23)

а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением,

. (5.24)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

, (5.25)

где - активная а, - реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

. (5.26)

Как видно, активная составляющая сопротивления равна

, (5.27)

а реактивная -

, (5.28)

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активной и реактивной составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны на рис. 5.4. На низких частотах емкость является разрывом цепи и сопротивление Ом. На высоких частотах емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.

При рад/с получается ранее вычисленное значение Ом.

Рис. 5.4.

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7. Комплексная мощность

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

. (5.30)

Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах).

Как видно, действительная (активная) составляющая

комплексной мощности представляет собой среднюю мощность , потребляемую двухполюсником,

. (5.31)

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах.

Мнимая (реактивная) составляющая комплексной мощности равна

(5.32)

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при ), при этом энергия запасается в магнитном поле индуктивностей, или отрицательной (при ) при накоплении энергии в электрическом поле емкостных элементов.

Модуль комплексной мощности равен

(5.33)

и измеряется в ВА. Величину называют полной мощностью, она определяется активной и реактивной мощностями,

. (5.34)

Можно записать

, (5.35)

величину называют коэффициентом мощности. При потребляемая мощность максимальна и равна полной мощности , а реактивная мощность равна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель .

5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, например, при В и А получим, что сдвиг фаз между напряжением и током равен . Тогда комплексная мощность равна

ВА,

активная составляющая (потребляемая мощность) -

Вт,

реактивная мощность –

ВАр,

а полная мощность -

ВА.

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как коэффициент мощности равен , то потребляемая мощность существенно меньше полной.

Мощности можно определить, зная комплексную амплитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление (проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис. 5.2 с подключенным к ней идеальным источником гармонического напряжения , показанную на рис. 5.5.при кОм, нФ, В. Ком-

плексная амплитуда ЭДС Рис. 5.5

источника равна В,

а комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

Ом.

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока ,

мА,

а полная комплексная мощность равна

ВА,

или в алгебраической форме

ВА.

Таким образом, потребляемая цепью мощность равна Вт, реактивная мощность - ВАр, а полная мощность - ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет рассмотрен в дальнейшем.

В цепи с комплексным сопротивлением при протекании через нее тока с амплитудой потребляемая мощность равна

. (5.36)

Аналогично в цепи с комплексной проводимостью при наличии на ней напряжения с амплитудой потребляемая мощность будет равна

. (5.37)

5.9. Максимизация потребляемой мощности

В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДС и внутренним комплексным сопротивлением , к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением .

Необходимо подоб- Рис. 5.6.

Рать такое сопротивление

нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Комплексная амплитуда тока в цепи равна

,

тогда для амплитуды тока получим

, (5.38)

в выражение для потребляемой мощности примет вид

, (5.39)

так как мощность потребляется только в активном сопротивлении .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному и реактивному сопротивлениям нагрузки. Как видно, величина присутствует только в знаменателе дроби и сумма возводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

или . (5.40)

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

. (5.41)

Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых

потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

(5.42)

и соответствующую величину мощности

. (5.43)

Зависимости мощности в нагрузке от при (сплошная линия) и Ом (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 при Ом и В.

Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет но снижается. Рис. 5.7

Рассмотрим коэффи-

циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной

. (5.44)

тогда КПД равен

. (5.45)

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-

Рис. 5.8 противлением (происходит на-

грев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.

5.10. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

В, мВ

мА, А.

Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

В, мВ, В, мВ,

мА, А, мА, мкА.

Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел и , результаты запишите в алгебраической и показательной формах.

	4-j3	7-j4	-j			20+j3
	-8+j2	-j5	j	-1-j	5+j2

Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент, а также обратную величину .

Задание 5.5. Найдите полное комплексное сопротивление и проводимость показанных на рис. 5.9 цепей при кОм, мГн и пФ на частоте рад/c.

Рис. 5.9

Задание 5.6. Получите общие формулы для полного комплексного сопротивления цепей из задания 5.5. Найдите формулы его модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

Задание 5.7. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рис.5.10 цепью при ЭДС источника В,

кОм и нФ. Рис. 5.10

Задание 5.8. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника тока мА при кОм, мГн и нФ.

Рис. 5.11

Дата добавления: 2014-11-25