Определенный интеграл

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю, т.е. .

Основные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. .

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е. .

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный, т.е. .

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е. .

5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , используют формулу Ньютона–Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке и – любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Нахождение определенных интегралов с использованием формулу Ньютона–Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции , на втором применяется собственно формула Ньютона–Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений .

Пример 11.1. Вычислить .

Решение.

При вычислении определенного интеграла способом замены переменной данный интеграл с помощью подстановки преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования , причем старые пределы интегрирования и заменяются новыми пределами и : .

Здесь предполагается, что функции и непрерывны на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке .

Пример 11.2. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Пусть , , , , тогда .

б) Пусть , , , , тогда .

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда , где .

Формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 11.3. Вычислить: а) , б) .

Решение.

а) Пусть , , , , тогда

.

б) Пусть , , , , тогда . Пусть , , , , тогда

.

Дата добавления: 2014-11-25