Завдання з теми «Лінійна та векторна алгебри. Елементи аналітичної геометрії»

 

Рекомендована література:

[1], гл. I-II, III-IV;

[3], гл. I, II, III;

[5], гл. 1-5;

[10], ч. I, III;

[7], ч. I, § 4, 5; ч. II.

 

Завдання 1.

Задано матриці і .

1. Обчислити матриці , , , .

2. Записати матричне рівняння , де , у вигляді системи лінійних рівнянь.

3. Розв’язати систему:

а) матричним методом;

б) за формулами Крамера;

в) методом Гаусса.

 

1. , ; 16. , ;

2. , ; 17. , ;

 

3. , ; 18. , ;

 

4. , ; 19. , ;

 

5. , ; 20. , ;

 

6. , ; 21. , ;

 

7. , ; 22. , ;

 

8. , ; 23. , ;

 

9. , ; 24. , ;

 

10. , ; 25. , ;

 

11. , ; 26. , ;

 

12. , ; 27. , ;

 

13. , ; 28. , ;

 

14. , ; 29. , ;

 

15. , ; 30. , .

 

Завдання 2.

Задано вектори , , і в деякому базисі. Показати, що вектори , , утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

 

1. , , , ;

2. , , , ;

3. , , , ;

4. , , , ;

5. , , , ;

6. , , , ;

7. , , , ;

8. , , , ;

9. , , , ;

10. , , , ;

11. , , , ;

12. , , , ;

13. , , , ;

14. , , , ;

15. , , , ;

16. , , , ;

17. , , , ;

18. , , , ;

19. , , , ;

20. , , , ;

21. , , , ;

22. , , , ;

23. , , , ;

24. , , , ;

25. , , , ;

26. , , , ;

27. , , , ;

28. , , , ;

29. , , , ;

30. , , , .

 

Завдання 3.

Задано координати вершин піраміди .

Знайти: 1) кут між ребром та гранню ;

2) площу грані ; 3) об’єм піраміди;

4) рівняння висоти, яку проведено з вершини до грані .

 

1. , , , ;

2. , , , ;

3. , , , ;

4. , , , ;

5. , , , ;

6. , , , ;

7. , , . ;

8. , , , ;

9. , , . ;

10. , , , ;

11. , , , ;

12. , , , ;

13. , , , ;

14. , , , ;

15. , , , ;

16. , , , ;

17. , , , ;

18. , , , ;

19. , , , ;

20. , , , ;

21. , , , ;

22. , , , ;

23. , , , ;

24. , , , ;

25. , . , ;

26. , , , ;

27. , , , ;

28. , , , ;

29. , , , ;

30. , , , .

 

Завдання 4.

 

1. Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від початку координат і від точки відносяться як .

 

2. Скласти рівняння лінії, для якої відстань кожної точки від точки вдвоє менша відстані її від прямої .

3. Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямої відносяться як .

 

4. Скласти рівняння лінії, для якої відстань кожної точки від точки вдвоє більша, ніж від точки .

 

5. Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямої відносяться як .

 

6. Скласти рівняння лінії, для якої відстань кожної точки від точки вдвоє менша відстані від точки .

 

7. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від точки і від прямої .

8. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від осі ординат і від кола .

Зауваження. За відстань від точки до фігури приймається найменша з відстаней між точкою і точками фігури .

 

9. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від точки і від прямої .

 

10. Скласти рівняння лінії, для якої відстань кожної точки від точки втроє більша, ніж від початку координат.

 

11. Визначити траєкторію точки , яка рухається так, що її відстань від точки вдвічі більша, ніж від прямої .

 

12. Скласти рівняння геометричного місця точок, які є рівновіддаленими від початку координат і від прямої .

 

13. Скласти рівняння множини точок, для яких відстань від точки вдвічі менша, ніж від прямої .

 

14. Скласти рівняння лінії, для якої відстані кожної точки від точки і від прямої відносяться як .

 

15. Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких сума квадратів відстаней від точок і є величина стала і дорівнює 20.

 

16. Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких різниця квадратів відстаней від точок і є величина стала і дорівнює 1.

 

17. Скласти рівняння траєкторії точки , якщо в кожний момент руху відстань її від точки вдвічі більша, ніж від точки .

18. Скласти рівняння множини точок, для яких сума квадратів відстаней від точок і дорівнює 50.

 

19. Скласти рівняння множини точок, для яких відношення відстаней від точки і від прямої дорівнює .

 

20. Скласти рівняння множини точок, для яких відношення відстаней від точки і від прямої дорівнює .

 

21. Скласти рівняння геометричного місця точок, які є рівновіддаленими від осі і від точки .

 

22. Визначити траєкторію точки , яка рухається так, що її відстань від точки залишається вдвічі меншою, ніж від точки .

 

23. Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких сума відстаней від точок і дорівнює .

 

24. Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких різниця відстаней від точок і дорівнює 4.

 

25. Написати рівняння геометричного місця точок, для яких відстань від точки вдвічі більша, ніж від точки .

 

26. Скласти рівняння геометричного місця точок, які є рівновіддаленими від осі і від точки .

 

27. Написати рівняння геометричного місця точок, які є рівновіддаленими від осі і від точки .

 

28. Скласти рівняння геометричного місця точок, які є рівновіддаленими від точки і від прямої .

 

29. Визначити траєкторію точки , яка рухається так, що її відстань від точки залишається втричі меншою, ніж від прямої .

 

30. Визначити траєкторію точки , яка рухається так, що її відстань від прямої залишається вдвічі меншою, ніж від точки .