Аналитические, графо-аналитические статистические и вероятностные методы решения проектных задач. Методы проектирования

Аналитический метод решения задач в горном деле разработан профессором Б.И. Бокием, акад. Л.Д. Шевяковым и применительно к условиям рудных месторождений развит акад. М.И. Агошковым, профессорами П.И. Городецким, И.А. Кузнецовым и др.

Метод основан на установлении зависимостей между исследуемыми параметрами и стоимостными показателями и отыскании оптимальных значений искомых параметров при решении задачи на оптимум аналитическим путем.

Зависимости имеют непрерывный характер и на графике представляют собой или выпуклую вверх кривую, если в качестве критерия служит прибыль, или вогнутую вниз, если в качестве критерия принимаются затраты.

Аналитический метод может использоваться для предварительных расчетов по выбору производственной мощности рудника, определению размеров шахтного поля, высоты этажа, некоторых параметров систем разработки, транспорта, энергоснабжения и т.д. При решении задач оптимизации параметров горных работ аналитическим методом предполагается, что стоимостной показатель с_д (себестоимость или капитальные затраты) зависит от искомого параметра х согласно какой-то известной зависимости. Например, по следующей формуле:

где а, b, с - постоянные стоимостные коэффициенты; с_д – себестоимость добычи. Приравнивая нулю первую производную от этого выражения

находят, что

При учете разницы в капиталовложениях (в общем случае) должна быть составлена функция капитальных затрат.

Необходимо осуществить проверку непрерывности данной функции. Функция непрерывна и имеет экстремальное значение, если вторая производная не равна нулю.

При наличии двух неизвестных в выражении, определяющем, например, затраты на вскрытие и разработку шахтного (рудничного) поля необходимо определить частные производные от этого выражения и, получив два уравнения, решить их совместно. Выразив одно неизвестное через другое на основе одного уравнения, подставив его значение в другое уравнение и решив его, найдем искомые параметры.

Например, при заданной добыче А распределить добычу по флангам для обеспечения минимальных затрат можно следующим образом. Допустим, что удельные затраты на добычу на одном фланге характеризуются выражением

а на другом

Тогда общая сумма затрат по руднику будет равна

При А = А₁ +А₂, А₂ = А – А_1, тогда

Первая частная производная от этого выражения будет равна

Откуда

и тогда

Если в качестве критерия эффективности принимать величину прибыли, то сумма прибыли равна

,

где t – срок отработки месторождения, лет; А_ij - производственная мощность рудника в j-й год по i-ому варианту, т/год; ц_ij – извлекаемая ценность добываемой рудной массы, руб/т; с_дij - затраты на добычу и переработку, руб/т.

Для исследования непрерывной функции на экстремум необходимо определить частные производные по всем независимым переменным и полученную систему уравнений решить относительно неизвестных параметров. Максимум прибыли будет соответствовать условию относительно А, ц или с, например

Путем расчетов и логических рассуждений, прежде всего, необходимо установить, имеет ли точку перегиба исследуемая функция. Если затраты сначала уменьшаются, а затем увеличиваются, а прибыль увеличивается, а потом уменьшается, то экстремум возможен. Если же затраты и прибыль только растут или уменьшаются, то экстремума нет.

Недостаток аналитического метода в том, что он непригоден при прерывных функциях, не раскрывает сущности закономерностей изменения функций, а дает лишь точечное значение, которое иногда может очень отличаться от соседних значений в довольно широких пределах. Второй недостаток - сложность получения информации для расчетов, что при ручном счете является немаловажным фактором.

Для более детального изучения характера изменения зависимостей применяют графо-аналитический метод, при котором для наглядности этого изменения строятся графики области оптимума, или графический метод, при котором вся зависимость изображается в виде графика. В этом случае зависимость может быть не только непрерывной, но и дискретной.

Графо-аналитический метод - строятся графики области оптимума значений, пользуясь которыми по двум известным значениям определяют неизвестное. К достоинствам способа относится возможность оценки взаимодействия одновременно нескольких параметров, например, запасов руды (1), содержания металлов (2) и коэффициента рудоносности (3) с изменением мощности (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Изменение распределения запасов руды (1), содержания урана (2)

и коэффициента рудоносности (3) с изменением мощности рудных тел

Статистический метод применяют в практике рудников и обогатительных фабрик для установления зависимостей:

- величины капитальных и эксплуатационных затрат на добычу и переработку от производственной мощности предприятия или горно-геологических показателей;

- показателей обогащения добываемой рудной массы (извлечение в концентраты и содержание в концентратах различных полезных компонентов) в зависимости от содержания в ней полезных и вредных компонентов;

- производительности выпуска руды и погрузочно-транспортных средств в зависимости от степени дробления руды и др.;

- выход негабаритов или затраты на вторичное дробление в зависимости от параметров буровзрывных работ и удельного расхода ВВ на отбойку;

- производительности бурения в зависимости от глубины, диаметра скважины и др. факторов;

- извлечения металлов в зависимости от проницаемости руд (рис. 5.6);

Рис. 5.6. Зависимость извлечения металлов от проницаемости руд

- зависимость производительности закладочного трубопровода от технологических параметров (рис. 5.7);

Рис. 5.7. Зависимость производительности трубопровода (Q) от направления действия вынуждающей силы вибровозбудителя (f), частоты вынужденных колебаний (β) и виброускорений (g) при круговой (1) и направленной вынуждающей силе при угле наклона b=30° (2) и b=0° (3)

- зависимость содержания металлов в продуктивных растворах от времени выщелачивания (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Зависимость содержания металлов в продуктивных растворах от времени выщелачивания: 1 – по традиционной технологии;

2 –с интенсификацией процесса

Показатели определяют на основе анализа показателей. Чем большее количество показателей подлежит анализу, тем точнее результат определения.

Эмпирические зависимости, установленные на основе статистических методов, имеют вид линейной, степенной и дробно-степенной функции:

Кроме выбора вида функций, необходимо определить входящие в неё постоянные величины и с. Наиболее часто для этого применяется метод наименьших квадратов.

Несмотря на простоту и универсальность, статистические методы при проектировании рудников могут применяться лишь в качестве вспомогательных. С их помощью решают частные задачи: выявление эмпирических зависимостей выбор параметров БВР, производительности погрузки, выпуска и доставки, зависимости между потерями и разубоживанием руды, зависимости между содержанием металлов в добываемых полезных ископаемых и показателями извлечения их при переработке и т.п.

Статистические данные относятся к процессам, явлениям и объектам, существовавшим ранее или существующим в настоящее время. Поэтому они не должны применяться для решения перспективных задач.

Вероятностные методы. Особенностью информации для проектирования рудников является ее стохастический (вероятностный) характер. Большинство исходных данных для проектирования рудника, принимаемых, как правило, детерминированными, на самом деле являются таковыми лишь с той или иной вероятностью. Почти каждый из этих показателей может быть задан не одним определенным числом, а целой совокупностью значений в пределах широкого диапазона изменений, из которых одно является лишь наиболее вероятным.

Очень многие данные и показатели на рудниках являются случайными величинами, они формируются под действием многих разнородных мелких причин, не поддающихся до исхода испытаний полному учету и контролю. Закономерности этих данных и показателей проявляются через множество отклонений.

Случайные величины или процессы на рудниках характеризуются множеством их возможных значений и вероятностью того, что они будут иметь те или иные значения из их множеств. Вероятность является математическим выражением объективной возможности случайного события, процесса или появления случайного показателя. Согласно закону Я. Бернулли («больших чисел»), математическое ожидание дискретной случайной величины есть величина неслучайная, и частоту случайного события можно предвидеть. Если отдельные случайные величины могут значительно отклоняться от своих математических ожиданий, то их средние арифметические рассеяны мало.

Установить среднее арифметическое случайной величины можно на основе изучения закона распределения этой случайной величины, характеризующего соответствие между возможными ее значениями и их вероятностями. Совокупность большого числа однотипных объектов, исследуемых по некоторому признаку, называется генеральной, а ее часть, достаточная для характеристики генеральной совокупности - репрезентативной (представительной) выборкой. Каждая выборка характеризуется объемом выборки, состоящим из п однородных элементов (единиц). Численные значения элементов выборки (статистической совокупности) называются вариацией (колеблемостью, или рассеянием). Число случаев появления вариантов в каком-либо интервале ряда распределения называется частотой. Сумма всех частот равна объему выборки. Вероятность появления какого-либо значения дискретной величины генеральной совокупности характеризуется относительной частотой - , где т_i - частота, а п - объем выборки. Для изучения свойств и закономерностей ряда определяют числовые характеристики случайной величины, такие как средняя арифметическая или взвешенная, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации и др.

Математическое ожидание случайной величины х, которая может принимать значения x₁, x₂, …, x_k с вероятностью Р₁Р₂,..., Р_k при дискретном распределении определяется равенством

или при непрерывном распределении в некотором интервале с плотностью вероятности f(х) по формуле

Дисперсия величины х равна

.

Коэффициент вариации равен отношению среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому (математическому ожиданию)

Коэффициент корреляции между двумя величинами х и у определяется по формуле

Вероятность того, что дискретная случайная величина примет определенное значение, устанавливается на основе закона распределения этой величины. В общем виде

При биноминальном законе распределения, законах Лапласа и Пуассона вероятность К-кратного повторения события в п однородных независимых опытах, в каждом из которых вероятность события равна b, определяется соответственно по формулам

а) ,

где М(к)=Р n и Д(к)= n Р(1-Р)

б) ,

где , М(к)=Р n и Д(к)= n Р(1-Р)

при 0,1£P£0,9;

в) ,

где М(к)= n Р= а и Д(к)= n Р= а при Р<0,1.

При непрерывном распределении случайной величины

.

Наиболее часто в практике решения задач для горной промышленности применяется нормальный закон распределения, при котором

где и .

Если необходимо получить вероятность события, равную 0,997, то

если 0,99 –

Аналогично этому:

Вероятностные методы совершенно необходимы для определения достоверности различных данных и показателей, расчетов практически большинства задач проектирования рудника. Они используются для оценки точности подсчета величины запасов и содержания металлов в руде, при опробовании руд, особенно в условиях сложных рудных месторождений. Широкое применение они находят при исследовании различных стохастических процессов, особенно таких, как выпуск руды из блоков, усреднение и шихтовка руд и др.

Без вероятностной оценки невозможно правильно решить такие задачи, как обоснование оптимальной величины (нормативов) вскрытых, подготовленных и готовых к выемке запасов, оптимизация календарного плана строительства и эксплуатации рудника. На сложных рудных месторождениях вероятностный подход позволит избежать ошибок при решении такой важной задачи, как определение производственной мощности рудника. Вероятностные методы необходимы также при выполнении различного рода прогнозов, которые при проектировании имеют большое значение.

Методы прогнозирования при проектировании рудников применяются для определения основных направлений технического прогресса, вероятного изменения сырьевой базы развития отрасли, производственной мощности рудника и других возможных изменений техники, технологии и технико-экономических показателей рудников в будущем. Использование данных прогноза при проектировании очень важно для выбора прогрессивной технологии и установления технико-экономических показателей, которые должны соответствовать периоду вступления в строй ныне проектируемых рудников Обычно рудники проектируются в течение нескольких лет, затем несколько лет строятся, после чего несколько десятков лет эксплуатируются. Поэтому, если закладывать в проект неперспективную технологию и непрогрессивные показатели, то такой проект быстро устареет, а рудник не обеспечит возможной эффективности, чем будет нанесен большой ущерб отрасли и народному хозяйству. Прогнозирование должно предсказать возможный облик горно-рудного предприятия будущего, возможные варианты наиболее эффективной технологии, ожидаемые технико-экономические показатели.

Прогноз - это вероятностное суждение о состоянии какого-либо объекта (процесса или явления) в определенный момент времени в будущем и (или) альтернативных путях достижения каких-либо результатов. Прогнозирование-это процесс формирования прогнозов развития объекта на основе анализа тенденций его развития.

В отличие от планирования при прогнозировании в связи с большими сроками прогнозов имеет место более высокая степень неопределенности вырабатываемой информации. Кроме того, в связи с недостаточной достоверностью исходных данных для проектирования на рудниках с большими сроками прогнозов при прогнозировании степень неопределенности вырабатываемой информации еще более усиливается. Поэтому при прогнозировании чаще преобладают стохастические или эвристические методы, реже - детерминированные.

Основные этапы прогнозирования - ретроскопия, диагноз (анализ) объекта и проспекция. На стадии ретроскопии осуществляются сбор, хранение и обработка информации, оптимизация методов измерения и самой информации, на основе чего формируются структура и состав характеристик объекта прогнозирования. На стадии диагноза анализируется объект прогнозирования и составляется прогнозная модель. При анализе сложного объекта используются теории информации, теория измерений, распознавания образов. Эти методы помогают выбрать важнейшие ведущие переменные (факторы), минимизировать размерности описания, выбрать адекватные шкалы для измерения количественных и качественных изменений. Математические методы, применяемые при прогнозировании, основаны на теории вероятности и математической статистике, теории численных методов анализа, теории факторного анализа.

При прогнозировании (диагнозе) должны соблюдаться принципы: системности анализа (объект должен рассматриваться как система взаимосвязанных характеристик и прогностического фона с позиций целей и задач прогнозного исследования), природной специфичности (учет специфики природы объекта, закономерностей его развития, абсолютных расчетных значений пределов его развития, оптимизации описания объекта), обеспечивающей данную достоверность и точность прогноза при минимальном числе переменных и минимальных затратах на него, в том числе дисконтирование старых данных; принцип аналогичности (сопоставления) свойств объекта с известными схожими объектами и прочими моделями с целью отыскания объекта-аналога и использования при анализе и прогнозировании его модели или ее частей.

Наиболее распространенными методами прогнозирования являются экстраполяционные (сглаживания и уравнивания статистического ряда, экстраполяция простыми зависимостями с использованием степенных полиномов, экстраполяция тенденций по огибающим кривым и др.), статистические (корреляционный и регрессионный анализы, факторный анализ), экспертные, переработки патентной информации, технологического моделирования и др.

По степени детерминированности можно выделить следующие объекты:

1) детерминированные, в которых случайной составляющей можно с достаточной точностью пренебречь;

2) стохастические, в описании которых необходим учет случайной составляющей переменных в соответствии с требуемой точностью и задачей прогноза;

3) смешанные, имеющие как детерминированные, так и стохастические характеристики.

В задачах оптимизации параметров при проектировании рудников и технологии горных работ объекты прогнозирования и практически все технико-экономические показатели являются в основном стохастическими и смешанными, некоторые из них с полным отсутствием ретроспективной информации (проектируемые вновь).

По характеру развития объекты прогнозирования можно подразделить на дискретные, тренд (регулярная составляющая) которых изменяется скачками в фиксированные моменты времени, апериодические, описания которых дано в виде апериодической непрерывной функции времени, и циклические, имеющие регулярную составляющую в виде периодической функции времени.

При анализе данных прошлого и выявлении тенденций развития того или иного явления важно учитывать возможные коренные изменения в технике и технологии в течение прогнозируемого периода. Например, переход рудника на самоходное оборудование, замена систем разработки с обрушением на системы с закладкой или наоборот и т.п.

Какой-либо процесс или показатель можно представить в виде переменного ряда У_t выражением

У_t=Х_t+e_t,

где X_t -детерминированная составляющая процесса (тренд); e_t - случайная (стохастическая) составляющая процесса.

Прогнозное значение величины У_t определяется суммой прогнозных значений тренда и случайной составляющей. Если известна функция тренда, то задача определения детерминированной составляющей решается. Если неизвестна, то надо установить подходящий для данной задачи вид тренда. Обычно из ряда функций, представляющих собой прямые, параболы, степенные и другие функции, наиболее простым и распространенным является метод наименьших квадратов, ранее рассмотренный.

При прогнозировании применяются также методы экспоненциального сглаживания, метод скользящей средней и др.

Примером использования прогнозов является работа институтов Гипроруда и Уралгипроруда совместно с ИГД МЧМ «Основные технические направления проектирования горно-рудных предприятий», в которой были разработаны технические направления, наиболее целесообразные при проектировании рудников (по масштабам производства, технологии горных работ и горнотранспортному оборудованию, внедрению автоматизированных систем управления и т.д.). Эти прогнозы были использованы при составлении проектов реконструкции железорудных шахт. Научное прогнозирование - необходимая стадия проектирования горно-рудных предприятий.

Дата добавления: 2014-11-25