Решение. Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве

Пример. Даны четыре точки: .

Найти: 1) уравнение прямой () в канонической форме;

2) уравнение прямой (R), проходящей через точку параллельно прямой ();

3) тупой угол между прямыми () и (), т.е.

4) уравнение плоскости ();

5) угол между прямой () и плоскостью ();

6) уравнение прямой (L), проходящей через ;

7) угол между плоскостью () и плоскостью ();

8) уравнение плоскости (Q), проходящей через точку ;

1) На прямой АВ известны две точки, поэтому найдём её как прямую, проходящую через две точки:

(АВ):

(АВ): - задание прямой в канонической форме,

причём её направляющий вектор .

2) Прямая .

Знаем одну точку на прямой и направляющий вектор этой прямой, поэтому прямую можно задать в канонической форме: .

3) Направляющий вектор (АВ): , а в качестве направляющего вектора (AD) можно использовать вектор .

Угол между этими прямыми найдём по формуле: ,

Тогда .

4) Уравнение плоскости АВС, проходящей через три данные точки, можно найти по формуле:

.

Разложив определитель по первой строке, получим: .

(АВС): - уравнение плоскости (АВС) в общем виде,

причём -её нормальный вектор.

5) Угол между прямой (AD) и плоскостью (АВС) найдём по формуле

.

6) Найдём уравнение плоскости (ABD):

(ABD):

Разложив определитель по первой строке, получим: .

(АВD): - уравнение плоскости (АВD) в общем виде,

причём - её нормальный вектор.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то её направляющим вектором может быть нормальный вектор плоскости, т.е. .

Теперь прямую L можно задать как прямую, проходящую через данную точку в данном направлении:

(L): .

7) .

. Косинус отрицательный, следовательно, угол – тупой.

8) Плоскость Q параллельна плоскости (ABD), поэтому нормальные векторы у них могут быть одинаковыми: .

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку С(6;8;13) перпендикулярно данному направлению: , где А, В, С – координаты нормального вектора плоскости Q.

Тогда (Q): .

Дата добавления: 2014-11-25