Непрерывность функции одной переменной

Пример. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.

если

Решение. Естественно, что на интервалах и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

,

,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Рис. 1

Пример. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

. Точка разрыва .

Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 2.

Рис. 2

Дата добавления: 2014-11-25