Решение. Производная и дифференциал функции одной переменной

Производная и дифференциал функции одной переменной

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: .

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция.

, где , а ,

.

Пример. Найти дифференциалы функций

1. ; 2. , вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2.

Полагая и , получим .

Пример. Найти пределы, используя правило Лопиталя

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1. ;

2. ;

- здесь правило Лопиталя применено дважды.

3.

4. .

4. Исследование поведения функции и построение её графика

Пример. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

.

3. График функции не пересекается с осью OХ, т.к. ; с осью OY пересекается при x = 0, y= -2, т.е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: .

Вычислим пределы функции при слева и справа.

.

.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где

.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

- точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

Рис. 3.

Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 3).

; .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Точек перегиба нет, так как .

Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 4).

Рис. 4.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.

Рис. 5

Запомните таблицу основных правил и формул дифференцирования.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

№			№

Правила дифференцирования

Дата добавления: 2014-11-25