Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Лекция № 4 Кривые второго порядка.

Цель: Ввести понятия кривых второго порядка, их канонические уравнения. Для окружности на примере рассмотреть нахождение центра и радиуса по заданному каноническому уравнению. Для эллипса и гиперболы ввести понятия фокусов, эксцентриситета и директрис. Научить составлять уравнения кривых второго порядка, используя различные данные.

1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y² = 2px – уравнение параболы.

6) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

1. Окружность.

В окружности (x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

2. Эллипс.

Определение: Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

Определение: Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

у

Дата добавления: 2014-11-26