Неполные уравнения плоскости

Плоскость в пространстве.

Кривые второго порядка.

Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Прямая и плоскость в пространстве.

1. Уравнение поверхности в пространстве.

Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Получим уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = { A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = { x - x₀ , y - y_0, z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 – n = {0, B,C } Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

называемому уравнением плоскости в отрезках.

Дата добавления: 2014-11-09