Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w.

Чтобы определить резонансную частоту - час­тоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, - нуж­но найти максимум функции или, что то же самое, минимум подкорен­ного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв к нулю, получим условие, определяющее :

.

Это равенство выполняется при , у которого только
лишь положительное значение имеет физический смысл. Следователь­но, резонансная частота

. (5.44)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы к частоте называ­ется резонансом. При << значение практичес­ки совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.

Подставляя (5.44) в формулу (5.42), получим

. (5.45)

На рис. 36 приведена зависимость ампли­туды колебаний от частоты при различ­ных δ.

Из (5.44) и (5.45) вытекает что, чем меньше δ, тем выше и правее ле­жит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению так называемому статическому отклонению.

Рис. 36

В случае механических колебаний . Если w®¥, то все кри­вые асимптотически стремятся к нулю. Приведенные на рис. 36 кри­вые называются резонансными кривыми.

Из формулы (5.46) вытекает, что при малом затухании << резонансная амплитуда смещения

, (5.46)

где Q - добротность колебательной системы (5.35), - статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характе­ризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше .

Зависимость от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис.37, из которого сле­дует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j.

Из формулы вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w0 независимо от значения коэффициента затухания , т.е. вынуждающая сила опережает вынуждающие по фазе колебания на .

При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при >>w₀ , т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внеш­ней силы. Семейство кривых, изображенных на рис. 37, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы их собственная частота колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае воз­никнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колеба­ний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

Дата добавления: 2014-11-16