И его решение

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Вынужденне колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью к.-л. периодически действующего фактора x(t), изменяющегося по гармоническому закону:

.

Если рассматривать механические колебания, то роль x(t) играет внешняя вынуждающая сила

., изменяющаяся с частотой w (5.36)

С учетом силы (5.36) закон движения для пружинного маятника за­пишется в виде

. (5.37)

Используя (5. 15) и (5.30), придем к уравнению

. (5.38)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными меха­ническими.

Уравнение (5.38) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

, (5.39)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (х₀ в случае механических колеба­ний равно F₀/m).

Решение уравнения (5.39 равно сумме общего решения

(5.40)

однородного уравнения и частного решения

(5.41)

неоднородного уравнения (5.39), где

, (5.42)

. (5.43)

Слагаемое (5.40) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого ра­венством (5.42).

Рис. 35

Следовательно, в установившемся режиме вынужден­ные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний также зависят от w. Графически вынужденные колебания представлены на рис. 35.

Дата добавления: 2014-11-16