Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема 5. Введение в анализ




Основные теоретические сведения

 

1. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) со множеством значений Y. Это можно записать так: или , где множество Х называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида , множеством значений функции.

2. К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y= , где ;

2) показательная функция y=ax, где ;

3) логарифмическая функция y= , где ;

4) тригонометрические функции: , ;

5) обратные тригонометрические функции: y =arccos x, y =arctg x, y =arcctg x.

3. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любого найдется такое, что при

Это записывают так: .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при )

4. Функция f (x) (F (x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если .

5. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при ); 3) использование двух замечательных пределов:

Отметим также, что

Пример 1. Найти

Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

Поэтому

Пример 2. Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x 4. В результате получим

поскольку при функции 5/ x 3 и 7/ x 4 являются бесконечно малыми.

Пример3. Найти

Решение. Подстановка x = приводит к неопределенности . Произведем замену переменных: Тогда

Здесь использован второй замечательный предел.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.006 сек.