Массового обслуживания

ЦЕПИ МАРКОВА И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

1.Теория массового обслуживания.

2.Случайные процессы.

3.Поток событий.

4.Нестационарный пуассоновский поток.

5.Поток Пальма.

6.Потоки Эрланга.

7. Цепи Маркова.

8. Матрица переходов и граф состояний.

9. Предельные вероятности.

10.Марковские цепи с конечным числом состоянии и непрерывным временем

11. Процесс гибели и размножения

12.Системы массового обслуживания и их классификация.

13.Марковские системы массового обслуживания

14.Показатели эффективности систем массового обслуживания

15.Замкнутые системы массового обслуживния

16. Открытые системы массового обслуживания

17 Таблица основных формул для открытых СМО

18. Одноканальная система с произвольным распределением времени обслуживания

Литература

1. Теория массового обслуживания.

Система массового обслуживания состоит из некоторого числа обслуживающих единиц или каналов, работа которых состоит в выполнении поступающих по этим каналам заявок.

Примеры систем массового обслуживания весьма распространены на практике. Это различные телефонные станции, ремонтные мастерские и проч. Вид и количество поступающих на эти системы заявок различны и, вообще говоря, случайны.

Теория массового обслуживания описывает закономерности функционирования таких систем.

2. Случайные процессы.

Случайный процесс, протекающий в системе массового обслуживания состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое. Меняется число заявок, число занятых каналов, число заявок в очереди и проч.

Рассмотрим физическую систему, которая в каждый момент времени может находиться в одном из k различных состояний, которые обозначим через

А₁, А₂,..., А_k..

Предположим теперь, что в определенные моменты времени t=0, 1, 2,..., называемые шагами, система может переходить из одного состояния в другое. Если переходы системы из состояния в состояние на каждом шаге происходят случайно, то гово­рят, что в системе возник случайный процесс с дискретным временем или система относится к дискретному типу. В таком случае можно рассмотреть последовательность случайных величин:

X₀, X₁, X₂,..., X_m,...,

где X_m=i, если в момент времени m система находилась в состоянии A_i.

Если количество возможных состояний счетно, то сумма вероятностей нахождения системы в одном из состояний равна 1.

Распределение вероятностей p_k (t) для каждого момента времени характеризует данное сечение случайного процесса.

Если переход из одного состояния в другое возможен в любой момент времени, то процесс является процессом с непрерывным временем.

Большинство реальных систем массового обслуживания являются системами с с непрерывным временем.

Для того, чтобы описать случайный процесс в системе с непрерывным временем необходимо прежде всего проанализировать причины, вызывающие изменение состояния системы. Эти причины определяются потоком заявок, поступающих на систему.

2.Поток событий.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени.

В частности, в потоке событий события могут следовать одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток событий называется регулярным и не представляет интереса для теории вероятностей.

Характер событий, образующих поток может быть различным. Если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным. Далее будем рассматривать однородные потоки событий.

Однородный поток можно изобразить последовательностью точек t₁, t₂,..., t_i, …— моментов наступления событий на оси времени Ot. Здесь t₀ -начальный момент.

t₀ t₁ t₂ t₃... t_i... t

· · · · ·

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Пример не выполнения условия стационарности– “час пик” на транспорте.

Если выполнено условие стационарности, то можно говорить о сред­нем числе событий l наступающих за единицу времени, например за один час, не указывая за какой именно час. Число l называют интенсивностью потока.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых, не перекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Отсутствие последействия означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.

Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда.

Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок D t двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток сводится к ординарному.

Если поток событий стационарен, ординарен и без последействия, то такой поток называется простейшим потоком.

Можно показать, что для простейшего потока с интенсивностью l вероятность P_i(t) наступления ровно i событий за время t вычисля­ется по формуле Пуассона:

P_i(t) = e^- , (i 0),

Поэтому простейший поток называют также пуассоновским потоком.

Обозначим через Т интервал времени между наступления­ми двух последовательных событий. Найдем функцию распре­деления случайной величины Т:

F(t) = P(T < t) = 1 - P(T ³ t) = 1 – P₀(t), (1)

где P(T < t) — вероятность того, что случайная величина Т примет значение, меньшее, чем t;

P(T ³ t) = P₀(t) — вероятность противо­положного события (т. е. за время t в СМО не поступила ни одна заявка). По формуле Пуассона имеем:

P₀(t) = e^- = e^- ,

поэтому из (1) получим

F(t) = 1 - e^- , (t > 0). (2)

Плотность распределения случайной величины Т:

f(t) = F^’(t) = l e^- , (t > 0).

Математическоеожидание и дисперсия слу­чайной величины Т:

M[T] = , D[T] = , . (3)

Интервал времени Т между двумя после­довательными событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с математическим ожиданием , где l — интенсивность потока.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (t = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей - l = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т.к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь Р₀ (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Пример. В процессе эксплуатации ЭВМ возникают неисправности (сбои). Поток сбоев считается простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно m. Найти вероятности следующих событий:

A - за суток нет ни одного сбоя

B - за одни сутки будет хотя бы один сбой

C - за неделю произойдет не менее сбоев

Если поток событий нестационарен, то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностью потока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (t, t + Dt), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.

Как видно из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке (0, t).

3. Нестационарный пуассоновский поток

Определение. Нестационарным пуассоновским потоком называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью l(t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины t, начинающийся в точке t₀, подчиняется закону Пуассона:

Здесь а – математическое ожидание числа событий на участке от t₀ до t + t₀. Оно вычисляется по формуле:

Величина а на только от длины участка t, но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции l(t).

Вероятность того, что на участке времени от t₀ до t + t₀ не появится ни одного события, равна

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра t₀ и вида функции l(t). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

5.Поток Пальма.

Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием.

Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т₁, Т₂, … представляют собой независимые случайные величины.

Если промежутки времени Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.

Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т₁, Т₂, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.

Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Теорема. (Теорема Пальма) Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток.

Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.

6.Потоки Эрланга.

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.

Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами Т₁, Т₂, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону:

Обозначим f_k(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток (0, t).

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k - го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Пример. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсив­ность потока заявок равна заявок в час. Если диспетчер в слу­чайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной за­явке он обязан вернуться к пульту.

Найти плотность распределения времени ожидания очеред­ной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от t₁ до t₂. минут.

Дано:

Решение: Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма:

(1)

,

где - плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;

- интенсивность потока;

- порядок потока;

- функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга k-го порядка (Э_k).

Известно, что функция распределения для потока Э_k имеет вид:

(2)

,

По условию задачи поток заявок является Эрланговским порядка k=2. Тогда из (1) и (2) получим:

(3)

.

Из последнего соотношения (3) при будем иметь:

.

При .

Рассмотрим предел:

При вычислении предела числа для неопределенности типа использовано правило Лопиталя.

Перейдем к одним единицам времени:

Û Q = 0.

Û .

Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины X в отрезок численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(x). Эта площадь выражается определенным интегралом:

Следовательно, искомая вероятность равна:

Этот интеграл вычисляется по частям, если положить

Используя формулу:

получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 20 до 30 минут равна 0,71.

7.Цепи Маркова.

(Андрей Андреевич Марков (1856-1922) – русский математик, академик)

Дата добавления: 2014-11-16