Непрерывные случайные величины

Геометрическое распределение

Предположим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р, q=1-р – вероятность промаха. Испытание заключается в том, что стреляют в цель до первого попадания и на этом стрельба заканчивается. Число произведенных выстрелов Х является случайной величиной, которая может принимать любые целые значения k³1. Найдем закон распределения Х. Для этого рассмотрим следующие случайные события:

А₁ – при первом выстреле был промах;

А₂ – при втором выстреле был промах;

… и т.д.

События А₁, А₂… - попарно независимы. Поэтому по формуле умножения вероятностей получим, что:

p(X=1)=p(`A₁)=p;

p(X=2)=p(A₁`A<sub>2</sub>)=p(A<sub>1</sub>)×p(`A₂)=q×p;

p(X=3)=p(A₁A₂`A<sub>3</sub>)=p(A<sub>1</sub>)×p(A<sub>2</sub>)×p(`A₃)=q²×p;

…

p(X=k)=p(A₁×A₂…A_k-1×`A_k)=q^k-1×p.

Таким образом, получаем закон распределения этой случайной величины, который принято называть геометрическим:

Х	1	2	3	…	k	…
P	P	qp	q^2p	…	q^k-1p	…

Существуют случайные величины множество значений которой, может быть произвольным: множество всех действительных чисел, полупрямая [а; +¥), отрезок [a; b] и т.п. Такие случайные величины, в отличие о дискретных, не могут быть заданы законом распределения. Для любой случайной величины X можно вести понятие функции распределения F(х).

Значение функции распределения F(х) в точке х определяется как вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее, чем х:

F(x)=P(X<x).

Примеры нахождения функций распределения.

Задача 1. Пусть Х – ДСВ с законом распределения:

Х	1	2	3
Р	0,2	0,5	0,3

Решение. Разобьем всю прямую на четыре части точками х₁=1, х₂=2, х₃=3, а затем рассмотрим четыре случая:

- если х£1, то событие {Х<x} является невозможным, поэтому F(x)=P(0)=0;

- если 1<x£2, то событие {X<x} возможно лишь тогда, когда Х=1, поэтому F(x)=P(X<x)=P(X=1)=0/2;

- если 2<x£3, то событие {X<x} возможно тогда, когда Х=1 или Х=2, поэтому по формуле сложения вероятностей F(x)=P(X<x)=P(X=1)+P(X=2)=0.7;

- наконец, если x³3, то событие {X<x} является достоверным, поэтому F(x)=P(X<x)=P(W)=1.

Таким образом, функция распределения этой случайной величины имеет вид:

y y=F(x)

0, если х£1 1

F(x)= 0,2, если 1<х£2

0,7, если 2<х£3 0.7

1, если х>3

0.2

x

1 2 3

Функции такого вида называют ступенчатыми.

Задача 2. Рассмотрим испытание, состоящее в том, что в заданном круге радиуса R=1 наугад отмечается точка М. Пусть случайная величина Х – это расстояние от точки М до центра круга.

Решение. Рассмотрим три случая:

- если x£0, то событие {X<x} является невозможным, т.к. расстояние Х не может быть отрицательным, а поэтому F(x)=P(X<x)=p=0;

- если же x>1, то событие {X<x}, напротив, является достоверным, поэтому F(x)=P(X<x)=p(W)=1;

- наконец, если 0<x£1, то событие {X<x} означает попадание т. М внутрь круга радиуса х с тем же центром, поэтому:

F(x)=P(X<x)=px²/pR²=x²

(см. геометрическое определение вероятности).

Таким образом, эта случайная величина Х имеет следующую функцию распределения:

y

1

1

Отметим, что в рассмотренном примере, в отличие от предыдущего, функция распределения F(x) оказалась непрерывной.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) удовлетворяет двум условиям:

1.F(x) – непрерывна на всей числовой прямой;

2.F(x) – кусочно-дифференцируема.

Отметим простейшие свойства функции распределения:

1.F(x) – монотонно неубывающая функция;

2.

3.

В то же время верно и обратное, т.е. любую функцию F(x), которая является непрерывной, кусочно-дифференцируемой, а также удовлетворяет указанным выше свойствам 1-3, можно рассматривать как функцию распределения некоторой НСВ Х.

Другим, важным понятием, связанным с НСВ Х, является понятие плотности распределения: она обозначается через f(x) и определяется как производная от функции распределения, т.е.

f(x)=F¢(x).

Так, например, в рассмотренной выше задаче с бросанием точки в круг плотность распределения f(x) имеет вид.

y

2

0, если х£0

f(x)= 2x, если 0<х£1

0, если х³1

1 x

Плотность f(x) не обязательно должна быть непрерывной на всей прямой – в некоторых точках она может иметь разрывы.

В некоторых задачах НСВ Х задается своей плотностью распределения f(x). В таком случае функция распределения F(x) может быть найдена по формуле:

Основные свойства плотности распределения:

1) для любого x,

2) .

3) Функция распределения F(x) может быть найдена по формуле:

4) Вероятность попадания НСВ Х в заданный интервал (a, b) можно найти по одной из следующих формул:

5) Из теоремы о среднем определенного интеграла, при a=x и b=x+Dx получаем приближенную формулу:

P(x<X<x+Dx)»f(x)× Dx.

Эта формула выражает вероятностный смысл плотности распределения: если всю числовую прямую разбить на достаточно маленькие интервалы одинаковой длины Dх, то вероятность попадания Х в каждый из этих интервалов пропорциональна значению f(x) на этом интервале. Что соответствует физическому понятию плотности тела.

Дата добавления: 2014-11-16