Примеры решения задач

Пример 1. По отрезку прямого провода длиной L=80 см течет ток I=50А. Определить магнитную индук­цию В поля, создаваемого этим током, в точке А, равно­удаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии г_о=З0 см от его середины.

Р е ш е н и е. Для решения задач воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпо­зиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию d B, создавае­мую элементом тока I d 1. Заметим, что вектор d В в точ­ке А направлен за плоскость чертежа. Принцип супер­позиции позволяет для определения В воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

(1)

где символ означает, что интегрирование распростра­няется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

где d В - магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной d l с током I в точке, определяемой радиусом - вектором г; m₀ - магнитная постоянная; m - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод.

(Во всех задачах, где это специально не оговорено, следует считать, что средой является воздух, для которого магнитная проницаемость m принимается равной единице). Заметим, что векторы dВ от различных элементов тока сонаправлены (рис. 1), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

где

В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол a есть угол между элементом тока I dlи радиусом - вектором г. Таким образом,

(2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная - угол a. Для этого выразим длину элемента провода dlчерез угол : (рис. 1).

Тогда подынтегральное выражение запишем в виде . Заметим, что переменная r так­же зависит от , (г=г_о/sin ); следовательно,

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде

где и - пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода . С учетом этого формула (3) примет вид (4)

Из рис. 1 следует .

Подставив выражение в формулу (4), получим

. (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем В=26,7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по пра­вилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис. 2) и по касательной к ней в интересующей нас точке провидим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 1) направлен перпендикулярно плос­кости чертежа от нас.

Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода Dи С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60А, расположены на расстоянии d=10см друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 3), отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии г₁=5 см, от другого - r₂ = 12 см.

Р е ш е н и е. Для нахождения магнитной индукции B в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукций В ₁ и В ₂ полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометри­чески:

B = B ₁ + B ₂

Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:

(1)

где - угол между векторами В ₁ и В ₂.

Магнитные индукции В ₁ и В ₂ выражаются соответственно через силу тока 1 и расстояния г₁ и r₂от проводов до точки А:

.

Подставляя выражения В ₁ и B ₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем . (2)

Вычислим . Заметив, что (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

,

где d- расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

=3,08×10^-4Тл= =308мкТл.

Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R =10см течет ток I =80А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

где d В - магнитная индукция поля, создаваемого эле­ментом тока I d l в точке, определяемой радиусом-векто­ром г.

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку A проведем радиус-вектор г (рис.4).

Вектор d В направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция В в точке А определяется интегри­рованием:

где интегрирование ведется по всем элементам d l кольца.

Разложим вектор d В на две составляющие: d B _^, перпендикулярную плоскости кольца, и d B _||, параллель­ную плоскости кольца, т.е.

d B = d B _^ + d B _||

Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы d В _^ от различных элементов d l сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

где d B _^ = d B× cosb и

(поскольку dl перпен­дикулярен r и, следовательно, sina = 1). Таким

образом,

После сокращения на 2p и замены cosb на R /r (рис. 4) получим

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции: Тогда

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

или В = 62,8 мкТл.

Вектор В направлен по оси кольца (пунктирная стрел­ка на рис.4) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 4. Длинный провод с током I =50А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 5). Расстояние d =5см.

Р е ш е н и е. Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис.6). В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ­ке A будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукций В ₁ и В ₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В = В ₁+ В ₂. Магнитная индукция В ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, d В = 0 ([d lr ] = 0).

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:

где r₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис. 6).

В нашем случае a₁®0 (провод длинный), a₂ = a .= 2p/3 (соsa₂ = соs(2p/3) = -1/2). Расстояние r₀ = dsin(p-a) = dsin(p/3) = . Тогда магнитная индукция

.

Так как B = B₁ (B₂ = 0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В ₁, и определяется правилом правого винта. На рис. 6 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Проверка единиц аналогична выполненной в приме­ре 3. Произведем вычисления:

Пример 5. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 7). По проводам текут токи I₁=80А и I₂=60А. Расстояние d между проводами равно 10см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция B поля, создаваемого токами I₁ и I₂, определяется выражением B = B ₁ + B ₂, где B ₁ -магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁; B ₂ -магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₂. Заметим, что векторы B ₁ и B ₂ взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. 8). Тогда модуль вектора B можно определить по теореме Пифагора: где B ₁ и B ₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током: В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.

Произведем вычисления:

Пример 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 9. Радиус R дуги окруж­ности равен 10см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I = 80А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: B = S B _i. В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 10): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

В = В ₁ + В ₂ + В ₃,

где В ₁, В ₂ и В ₃ - магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В ₁ = 0 и тогда

В = В ₂ + В ₃,

Учитывая, что векторы В ₂ и B ₃ направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В₂ + В₃,

Магнитную индукцию B₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке O создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

Магнитную индукцию B₃ найдем, воспользовавшись соотношением (3), выведенным в примере 1:

В нашем случае r₀ =R, a₁ = p/2 (cosa₁ =0), a₂®p (cosa₂ = -1) Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

или

Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.

Произведем вычисления:

или B = 331 мкТл.

Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5м каждый, находящимся на расстоянии d= 20см друг от друга, текут одинаковые токи 1= 1 кA. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства I₁ и I₂)текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I ₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 11) через второй провод и по касательной к ней - вектор магнитной индукции В ₁.

Модуль магнитной индук­ции В ₁определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I ₂длиной d l действует в магнитном поле сила

Так как вектор d l перпендикулярен вектору В ₁, то и тогда

Подставив в это выражение В ₁согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I ₁ = I ₂ = I, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н)::

Произведем вычисления:

Сила F сонаправлена с силой d F (рис. 11) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции v ^ В. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а _n. Согласно второму закону Ньютона, F _л = m a _n (1)

где т - масса протона.

На рис. 12 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а _n и F _л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус):

F _л = ma _n, (2)

В скалярной форме F_л = QvBsina. В нашем случае v ^ B и sina=1, тогда F_л= QvB. Так как нормальное ускоре­ние а_n = v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом: QvB = mv²/R.

Отсюда находим радиус окружности: R = mv/(QB).

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

R = p/(QB). (3)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = DТ, или Q(j₁ - j₂) = T₁ - T₂, где j₁ - j₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U),T₁ и T₂ - начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (T₁ » 0) и выразив кинетическую энергию T₂ через импульс р, получим

QU = p²/(2m).

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3):

или .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В=0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R=5см. Определить магнитный момент р_m эквивалент­ного кругового тока.

Р е ш е н и е. Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 13 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками).

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением

где e- заряд электрона; T- период его обращения.

Период обращения можно выразить через скорость электрона vи путь, проходимый электроном за период T= v/(2pR). Тогда I_экв=½e½v/(2pR) (1)

Зная I_экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

p_m =I_экв S, (2)

где S - площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном

(S=pR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на pR и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом Rокруж­ности, по которой он движется, соотношением R=mv/(QB) (см. пример 8). Заменив Q на ½e½, найдем интересующую нас скорость v=½e½BR/m и подставим ее в формулу (3)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (A×м²):

Произведем вычисления:

Пример 10. Электрон движется в однородном магнит­ном поле (B=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h=6см. Определить период Tобращения электрона и его скорость v.

Р е ш е н и е. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a¹p/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис.14, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору B (v _||) и перпендикулярную ему (v _^). Скорость v _|| в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v _^ в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (F _л^ v _^) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (v_|| = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v _|| и равномерном движении по окружности со скоростью v _^. Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

T=2pR/v_^ (1)

Найдем отношение R/v_^. Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a_n = v_^²/R Согласно второму закону Ньютона можно написать F_л =ma _n,

или ½e½×v_^ ×B= m×v_^² /R, (2)

где v_^ = v ×sina.

Сократив (2) на v_^, получим R/v_^= m/(½e½×B) и подставим в формулу(1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (c):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис. 14, можно выразить через v_^ и v_|| ::

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости v_|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения T, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии,

т.е. h = T×v_|| , откуда v_|| =h / T_|

Подставив вместо Tправую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с).Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

2,46×10⁷ м/c=24,6 Мм/c.

Пример 11. Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E=10 кВ/м) и магнитное (B=0,1Тл) поля. Найти отношение заряда альфа- части­цы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямоли­нейной траектории.

Р е ш е и и е. Для того чтобы найти отношение заря­да Q альфа -частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

откуда (1)

Скорость v альфа- частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца F _л = Q[ vВ ], направленная перпен­дикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила F _к = Q Е, сонаправленная с век­тором напряженности E электростатического поля (Q>0). На рис. 15 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Oz, скорость v - в положительном направлении оси Ox, тогда F _л и F _к будут направлены так, как показа­но на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил F _л+ F _к будет равна нулю. В проекции на ось Oy получим следующее равенство (при этом учтено, что v ^ B и sina = 1):QE-QvB=0, откуда v = E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

Произведем вычисления:

Пример 12. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n=10 c^-1 относительно оси AB, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (B=0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a=60° с линиями поля. Пло­щадь S катушки равна 100 см².

Р е ш е н и е. Мгновенное значение ЭДС индукции и определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея - Максвелла:

(1)

Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков ка­тушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизы­вающий катушку в момент времени t, изменяется по за­кону Ф=BScosw t, где B - магнитная индукция; S - площадь катушки; w - угловая скорость катушки. Под­ставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Заметив, что угловая скорость w связана с частотой вращения n катушки соотношением w = 2pn и что угол wt = p/2-a (рис. 16), получим (учтено, что sin(p/2 - a) = cosa)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (B):

Произведем вычисления:

Пример 13. Квадратная проволочная рамка со сторо­ной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (B = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями маг­нитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Р е ш е н и е. При выключении магнитного поля про­изойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основ­ным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукцион­ный ток, мгновенное значение которого можно опреде­лить воспользовавшись законом Ома для полной цепи , где R - сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока тоэтовыражение можнопереписать в виде

(1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

Заметив, что при выключенном поле (конечное состоя­ние) Ф₂=0, последнее равенство перепишется в виде

Q =Ф₁/R (2)

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнит­ного потока имеем

Ф₁ = BSсоsa,

где S - площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S = а². Тогда

Ф₁ = Ba²соsa. (3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B =1 Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей че­рез середину его противоположных сторон, на угол: 1) j₁ = 90°; 2) j₂ = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е. Как известно, на контур с током в маг­нитном поле действует момент силы (рис. 17)

(1)

где р_m = IS = Iа² - магнитный момент контура; В- магнитная индукция; j - угол между векторами р _m, (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0),а значит, j = 0, т. е. векторы р_m и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший мо­мент сил [см. (1)] будет стремиться возвратить контур в ис­ходное положение. Против это­го момента и будет совершаться работа внешними си­лами.

Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdj.Учиты­вая формулу (1), получаем

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол j = 90°

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, В = 1T l, а = 10 cм = 0,1 м) и подставим в (3):

Работа при повороте на угол j₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол j₂ мал, заменим в выражении (2) sin j»j_:

Выразим угол j₂ в радианах. После подстановки чис­ловых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизываю­щего контур:

где Ф₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ - то же, после перемещения.

Если j₁ = 90°, то Ф₁ = BS, Ф₂ = 0. Следовательно,

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической по­тенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Тогда работа внешних сил

или

Так как р_m = Iа², cos j₁ = I и cos j₂ = 0, то

что также совпадает с (3).

Пример 15. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А маг­нитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Р е ш е н и е. Индуктивность L связана с потокосцепленнем Y и силой тока 1 соотношением

(1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть опреде­лено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

(2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соле­ноида:

(3)

Энергия магнитного поля соленоида

Выразив Lсогласно (3), получим

Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и произведем вычисления:

Дата добавления: 2014-11-16