Физические величины и законы

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

представим в виде таблицы

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
КИНЕМАТИКА Равномерное движение
Путь , м Скорость , м/с Ускорение , м/с^2	Угловой путь , рад Угловая скорость , рад/с Угловое ускорение , рад/с^2
Равнопеременное движение
Произвольное движение
Тангенциальное ускорение Нормальное ускорение – радиус кривизны траектории Полное ускорение		– радиус окружности
ДИНАМИКА Основные величины
Масса тела , кг     Сила , н Сила тяжести Ускорение свободного падения , м/с^2 Сила упругости , – коэффициент жесткости – величина деформации Сила трения , – коэффициент трения – сила реакции опоры	Момент инерции , кг·м^2 Для некоторых тел относительно оси симметрии Тонкий стержень длины Сплошной диск (цилиндр) Шар   Момент силы , н·м , – плечо силы – расстояние от оси до линии действия силы

Продолжение таблицы 1

Импульс тела ,   Работа силы , Дж Работа переменной силы Кинетическая энергия тела Потенциальная энергия тела: 1). в поле тяжести: а). б). – любое , – масса и радиус Земли – гравитационная постоянная 2). в поле упругих сил	Момент импульса Для вращающегося тела ,   Работа момента силы , Дж Кинетическая энергия вращающегося тела
Законы
Второй закон Ньютона Закон сохранения импульса	Основной закон динамики вращательного движения Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения энергии в механике
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонических колебаний Вид силы, вызывающий гармонические колебания ; Полная энергия колеблющейся материальной точки массы ; , где – смещение; – амплитуда колебания (); – фаза колебания; – начальная фаза; – циклическая частота; – период колебаний; – частота. Период колебаний физического маятника , где – момент инерции маятника относительно оси колебаний; – расстояние от оси колебаний до центра тяжести; – ускорение свободного падения; – масса маятника.

Пример1. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

. Через после начала движения полное ускорение точек обода колеса . Найти радиус колеса.

Дано: ; ;

;

.

Найти: .

Рисунок 1.

Решение. Полное ускорение точек обода .

Отсюда . (1.1)

Нормальное ускорение .

Так как движение равнопеременное (, ),

то .

В нашем случае и .

Таким образом .

Тангенциальное ускорение связано с угловым

. (1.2)

Тогда . (1.3)

Подставим формулы (1.2) и (1.3) в формулу (1.1):

.

Отсюда .

Подставляя заданные численные значения величин, получим

.

Пример 2. Молот массой ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни . Определить

к. п. д. удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.

Дано: ; т .

Найти: .

Решение. По определению

(2.1)

В нашем случае затраченная работа равна кинетической энергии молота перед ударом

, (2.2)

где – скорость молота непосредственно перед ударом по железу.

Полезная же работа по закону сохранения энергии равна разности между кинетической энергией молота до удара и кинетической энергией системы – молот + наковальня – после удара.

. (2.3)

Массой небольшого куска железа пренебрегаем. Для определения скорости молота и наковальни после удара воспользуемся законом сохранения импульса.

В нашем случае имеем

.

В скалярном виде

.

Отсюда .

Подставляя это выражение в формулу (2.3), получим

. (2.4)

Подставим формулы (2.4) и (2.2) в исходную формулу (2.1)

.

Подставим численное значение величин

; .

Пример 3. Через неподвижный блок массой перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы массами и .

Определить силы натяжения шнура и по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу.

Дано: ; ; .

Найти: , .

Решение. Два тела и движутся поступательно. Воспользуемся вторым законом Ньютона

.

Для первого тела имеем

. Рисунок 2.

В скалярном виде (выбираем положительным направление движения вверх)

. (3.1)

Для второго тела

.

Выбираем положительным направление движения вниз

. (3.2)

Мы учли, что .

Третье тело – блок – вращается.

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения

.

В нашем случае

.

Считая положительным направление вращения по часовой стрелке, получаем

.

Учитывая, что

; ; ; ,

получаем ,

то есть .

Согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости шнура

и .

Таким образом

(3.3)

Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными: и .

,

,

.

Сложив, соответственно, левые и правые стороны уравнений, находим

.

Отсюда

. (3.4)

Подставляя формулу (3.4) в первое уравнение системы, находим

.

После подстановки численных значений

(н).

Соответственно, второе уравнение системы с учетом формулы (3.4) примет вид

.

(н).

Пример 4. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом , стоит человек. Масса платформы , масса человека . Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью

относительно платформы.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

Рисунок 3.

Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса

.

В нашем случае ,

так как в начале ни человек, ни платформа не двигались.

В скалярном виде, считая положительным направление движения человека, получим

. (4.1)

Моменты инерции человека и платформы относительно оси вращения, соответственно, равны

; . (4.2)

Угловая скорость человека относительно Земли есть

и так как ,

то . (4.3)

Подставим формулы (4.3) и (4.2) в формулу (4.1)

.

Отсюда .

Подставляем численные значения

.

Пример 5. Вагон массой движется на упор со скоростью

. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на . Определить максимальную силу сжатия буферных пружин и продолжительность торможения.

Дано: т ;

; .

Найти: и .

Решение. При сжатии пружин сила сжатия определяется их силой упругости ,

где – величина сжатия; – коэффициент жесткости пружин.

Соответственно, искомая сила максимального сжатия

. (5.1)

По закону сохранения энергии кинетическая энергия вагона при остановке перейдет в потенциальную энергию сжатия пружин

.

Отсюда .

Подставляя выражение для «» в формулу (5.1), получим

.

Вычисляем .

Для нахождения времени сжатия пружин используем то, что под действием сил упругости смещение вагона определяется гармоническим законом

,

а скорость вагона соответственно

.

В начальный момент сжатия было

,

.

Отсюда

; . (5.3)

При остановке через имеем

,

.

Отсюда

. (5.4)

. (5.5)

Подставляя в формулу (5.4) выражение (5.3) с учетом формулы (5.5) получим .

Окончательно .

.

Пример 6. На концах стержня массой 1 кг и длиной 40 см укреплены одинаковые грузы массами 400 г по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около оси, проходящей через точку, удаленную на 10 см от одного из концов стержня. Определить период колебаний стержня.

Дано: ;

;

;

.

Найти: .

Рисунок 4.

Решение. Период колебаний физического маятника (а это – любое тело, колеблющееся около оси, не проходящей через центр тяжести) определяется формулой

, (6.1)

где – расстояние от оси колебаний до центра тяжести маятника. В нашем случае

. (6.2)

– общая масса маятника.

. (6.3)

– ускорение свободного падения.

– момент инерции маятника относительно оси колебаний

. (6.4)

Моменты инерции грузиков, как материальных точек, равны

; . (6.5)

Моменты инерции стержня находим, используя теорему Штейнера-Гюйгенса .

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен и, значит,

. (6.6)

Подставляя формулы (6.5) и (6.6) в выражение (6.4) находим

.

И, подставляя это выражение вместе с формулой (6.3) в выражение (6.1), окончательно получаем

.

Вычисляем .

.

Дата добавления: 2014-11-16