II. Введение в математический анализ

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

1. Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алге­браические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вектор­ное произведение и его свойства. Смешанное произведение.

4. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R² и R³ (векторная и координатная формы).

5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя не­известными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с п неизвестными. Метод Гаусса-Жордана.

6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матрич­ная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rⁿ. Линейная зависимость и независимость векторов в Rⁿ. Ранг матри­цы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теоре­ма Кронекера-Капелли.

7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R ² и R³. Собствен­ные векторы и собственные значения линейных операторов.

8. Квадратичные формы. Приведенные к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R² и R³.

9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

10. Поверхности второго порядка, Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточ­ность. Символика математической логики и ее использование.

12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементар­ных функций.

14. Бесконечно малые функции и их свойства.

15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.

16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно ма­лые. Их использование при вычислении пределов.

17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность сум­мы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функ­ции.

18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Дата добавления: 2014-11-16