Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения импульса: формула

В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.

Закон сохранения импульса для двух тел в виде формулы будет выглядеть следующим образом:

(p_1') +(p_2') = (p_1) + (p_2),

где левая часть уравнения это сумма импульсов тел после взаимодействия, а правая часть после взаимодействия. Уравнение говорит нам, что общий импульс (сумма импульсов) остается неизменнным.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки 0 на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью v_i. Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора m_iv_i. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (v_i = ωr_i), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:

(4.12)

т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:

(4.13)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:
если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0, откуда

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:
если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z = 0, то dL_z / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО₁. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси ОО₁ с угловой скоростью ω₁. Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения ω₂ возрастает. Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси ОО₁ можно записать:

(4.16)

где J₀ - момент инерции человека и скамьи; 2 mr₁² и 2 mr₂² - моменты инерции гантелей в первом и втором положениях; m – масса одной гантели; r₁, r₂ – расстояния от гантелей до оси ОО₁.
Изменение момента инерции системы связано с изменением ее кинетической энергии:

Используя выражение для ω₂, полученное из (4.16)

после преобразований получим:

Это изменение кинетической энергии системы численно равно работе, совершенной человеком при перемещении гантелей.
В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.

Таблица 4.2

Краткие выводы

• Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
• Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

• Момент инерции тела J_z относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

• При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

• Из сравнения формул следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.
• Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением dA = M_zdφ, где M_z – момент сил относительно оси вращения z.
• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:

где L_z – момент импульса твердого тела относительно оси z.

• В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси M_z = 0 и dL_z / dt = 0, откуда L_z = const – закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

5 вопрос: момент инерции тела. Момент силы. Теорема Штейнера.

Моме́нт ине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

омент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как сумму двух векторов:

,

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Дата добавления: 2014-11-08