Приклад 7.10

Осуществить методом наименьших квадратов линейную аппроксимацию экспериментальных данных, приведенных в табл. 7.2:

Розв‘язання.

Интервал варьирования , центр эксперимента . Рассчитаем значения фактора в безразмерном выражении по (7.25):

и т. д.

Запишем полученные результаты в последнюю строку () таблицы. Условие (7.22) выполняется, следовательно, можно воспользоваться формулами (7.23). Подсчитав предварительно и подставив эти данные в (7.23), получаем:

. То есть, . Расчет коэффициентов модели действительно существенно упростился, однако, чтобы получить искомую зависимость, необходимо вернуться к исходным данным .Сделать это просто, если учесть (7.25), то есть подставить в полученное уравнение . В результате получим

É

7.4.6. Двухуровневые планы многофакторных экспериментов

7.4.6.1. Центр эксперимента и интервалы варьирования факторов

На процессы, с которыми приходится иметь дело инженеру любой специальности, влияет множество факторов. При однофакторных экспериментах все факторы, кроме одного, стабилизируются на каком-то постоянном уровне. Провести исследование влияния на процесс сразу нескольких факторов и получить математическую модель процесса с учетом взаимовлияния на процесс всех принятых к исследованию факторов очень заманчиво.

Обычно к исследованию принимают не более 4 – 5 факторов. Если необходимо исследовать большее число разнородных факторов, то проводят 2 или больше экспериментов, группируя для каждого из них по возможности однородные факторы.

Назначение координат центра эксперимента и интервалов варьирования факторов во многом определяет эффективность эксперимента.

Координаты центра эксперимента должны соответствовать наилучшим из всех условий протекания исследуемого процесса.

При назначении величин интервалов варьирования факторов в многофакторном эксперименте руководствуются следующими соображениями.

 Значения интервалов должны быть такой величины, чтобы реакция процесса на соответствующее изменение фактора не маскировалась плохой воспроизводимостью исследуемого процесса и чтобы эту реакцию на фоне случайных воздействий на процесс неучтенных факторов можно было достоверно уловить имеющимися в распоряжении исследователя приборами.

‚ Изменение выхода процесса при изменении какого-либо -гофактора на его интервал варьирования должно быть соразмерным (в идеальном случае – одинаковым) с изменением выхода процесса при изменении любого другого -го фактора на соответствующий интервал . Выполнение этого пожелания должно привести при обработке, например, результатов полного или дробного факторных экспериментов к получению уравнения, в котором оценки линейных эффектов будут одного порядка (в идеальном случае – одинаковыми). Именно такое симметричное относительно линейных членов уравнение обеспечивает получение наиболее эффективной программы оптимизации.

7.4.6.2. Метод наименьших квадратов при обработке результатов многофакторного эксперимента

МНК дает возможность получить оценки максимального правдоподобия эффектов факторов, однако в этом случае определить коэффициенты соответствующих полиномов без использования ЭВМ сложно. Например, в простейшем случае для получения линейного уравнения по результатам двухфакторного эксперимента требуется получить оценки трех коэффициентов:

.

Система уравнений максимального правдоподобия является довольно громоздкой и для ее решения нужно применять метод определителей. Ситуация, однако, не является критической. Существуют соответствующие программы, позволяющие быстро, надежно и наглядно исследовать планы экспериментов для выявления их достоинств и недостатков. В частности, в компьютерной системе STATISTICA имеется специальный модуль – Experimental Design – для планирования и исследования планов эксперимента. При выполнении лабораторных работ вы ознакомитесь с работой этого модуля, главное, вам не придется решать громоздкие системы уравнений. За вас это сделает STATISTICA.

7.4.6.3. Составление плана полного факторного эксперимента (ПФЭ)

Самым простым планом, обладающим ортогональностью любых двух столбцов независимых переменных, является план ПФЭ типа , в котором исследуемые факторы изменяются лишь на двух уровнях: верхнем и нижнем .

Центр эксперимента

.

Интервал варьирования

.

В безразмерном выражении верхний уровень обозначается , нижний :

;

Для планов ПФЭ . Тогда формула для определения коэффициентов линейного уравнения запишется следующим образом:

. (7.26)

Двухуровневые планы полного факторного эксперимента помимо линейных коэффициентов позволяют определить независимым образом оценки эффектов межфакторных взаимодействий

(7.27)

Помимо ортогональности эти планы обладают свойством ротабельности, сводящимся к тому, что дисперсия предсказания результата опыта по полученному уравнению будет зависеть лишь от радиуса гиперсферы, которой принадлежат координаты прогнозируемого опыта.

План ПФЭ можно представить таблицей и графически в натуральной и кодированной размерности.

Дата добавления: 2014-11-18