Приклад 7.9

Используя данные примера 7.8, определить коэффициенты линейной зависимости методом наименьших квадратов (число повторностей в каждом из 11 опытов одинаково).

Розв‘язання.

Запишем из (7.21) выражения для коэффициентов и . '

и

Предварительно по данным таблицы из примера 7.8 вычислим:

Подставим эти значения в соответствующие формулы и получим: и . Следовательно, уравнение прямой, полученное с помощью МНК, имеет вид .

На рис. 7.4 построен ее график (прямая 3). Как и следовало ожидать из трех прямых на графике именно эта, полученная с учетом всей информации наилучшим образом представляет экспериментальные данные.

É

Легко убедиться, что решение систем нормальных уравнений существенно упрощается, если при планировании эксперимента, будет обеспечено равенство

. (7.22)

Это свойство МНК, как мы убедимся ниже, широко используется при планировании эксперимента. Поэтому, для линейной и квадратичной моделей выпишем соответствующие формулы.

 Линейная модель.

При выполнении условия (7.252 система нормальных уравнений линейной модели принимает вид

. (7.23)

‚ Квадратичная модель.

Коэффициенты квадратичной модели при выполнении (7.22) вычисляются по формулам:

. (7.24)

В литературе по обработке данных и планированию эксперимента (см., например, [10]) приведены соответствующие формулы и для моделей более высоких порядков.

Анализ формул для расчета коэффициентов приводит к выводу о том, что лишь для линейного уравнения такой план эксперимента дает независимые оценки коэффициентов уравнения. В квадратичном уравнении независимым образом определяется лишь линейный коэффициент , а в кубическом ни один изкоэффициентов не определяется независимым образом. Это означает, что исключение из уравнения какого-либо из этих коэффициентов как незначимого вызывает необходимость пересчета оценок связанных с ним коэффициентов.

Применение МНК в значительной степени облегчается и имеет четкий алгоритм, если аппроксимирующая зависимость представляет собой полином любой степени. К сожалению, характер экспериментальных данных во многих случаях не дает возможности успешно применить полиномиальную модель. Однако многие виды зависимостей могут быть приведены к полиномиальной структуре логарифмированием или заменой переменных.

7.4.5.2. Симметричный план однофакторного эксперимента

План однофакторного эксперимента, составленный с учетомвыполнения условия (7.22), является симметричным относительно центра эксперимента, т. е. переменная будет иметь как положительное, так и отрицательное значение. Этот план дает возможность независимым образом определить коэффициенты линейного уравнения (формулы (7.23)), т. е. будет ортогональным относительно коэффициентов линейного уравнения. Симметричный план предусматривает равномерное изменение исследуемого фактора от опыта к опыту:

,

где – значение фактора в -м опыте в натуральной размерности; – то же, для последующего опыта; – интервал варьирования фактора; величина должна обеспечивать значимое различие откликов в соседних опытах плана.

Если представить значение фактора в безразмерном выражении и за точку отсчета принять , то связь между и будет определяться соотношением

, (7.25)

где – центр эксперимента (середина диапазона изменения фактора) то есть

Легко видеть, что таким преобразованием переменной достигаются симметричность плана и его ортогональность в отношении коэффициентов линейного уравнения.

Дата добавления: 2014-11-18