Приклад 7.4 2 страница

где знак «+» указывает, что резистор подключен к измерительному прибору, а знак «–» означает, что значение сопротивления резистора не измеряется. Значение сопротивления оценивается по результатам двух измерений: установки нуля прибора и непосредственного измерения величины сопротивления. Значениекаждогоиз сопротивлений получаем перемножением элементов вектора на элементы столбцов матрицы . При этом получаем следующие величины сопротивлений:

Вправа 7. 7

Поясніть, як було отримано ці визази.

Дисперсия результатов измерения

,

где – СКО.

Аналогично получим:

Вправа 7. 8

Поясніть, як було отримано ці оцінки дисперсії результатів вимірів.

Таким образом, дисперсия результатов измерений сопротивления всех трех резисторов одинакова и равна .

Измерение этих же последовательно включенных сопротивлений можно провести по-другому в соответствии со следующей матрицей планирования

Как и в предыдущем случае, измеряется каждое из сопротивлений в отдельности, а в последнем четвертом опыте измеряется полное сопротивление всех трёх резисторов, предварительная установка нуля измерительного прибора не производится. Значение каждогоиз сопротивлений получаем так же, как и в предыдущем случае. Учтем только то, что в данном эксперименте измерение каждого из сопротивлений выполнено дважды. Для этого в соответствующие выражения введен коэффициент 0.5. Таким образом, находи:

Дисперсия результатов измерения в этом случае

Очевидно, что

Вправа 7. 9

Наведіть обґрунтування формул обчислення оцінок опору резисторів і дисперсій цих оцінок.

Таким образом, новая схема измерений дает уменьшение дисперсии вдвое по сравнению с традиционным методом при одинаковом количестве измерений. Чтобы получить такую же точность традиционным методом, необходимо количество измерений увеличить вдвое. Повышение точности получено благодаря тому, что значение каждого сопротивления по второй схеме измерялась во всех четырех опытах, а по первой схеме – только в двух.

É

Рассмотренный пример показывает, что даже сравнительно простые эксперименты могут быть спланированы лучше, чем они выполнялись традиционно. С усложнением экспериментов эффективность их планирования возрастает. Объектом исследования с применением теории планирования эксперимента могут быть любые радиосистемы и радиоустройства или их отдельные элементы.

7.4. Математические методы планирования экспериментов. [1, 2, 10, 11]

7.4.1. Сущность теории планирования эксперимента

Математизация исследований, а следовательно, и тех областей знания, к которым принадлежат эти исследования, предполагает в первую очередь получение математической модели исследуемого процесса, достаточно точно, адекватно, его описывающей. При наличии такой модели возникает возможность дальнейшее исследование процесса заменить анализом его математической модели для получения решения поставленных.конкретных задач.

Применение вероятностно-статистических методов для изучения сложных технических систем развивается в двух направлениях.

Ø Статистический анализ полученных экспериментальных данных с. целью определения однородности собранного материала, его достоверности и точности с позиций принятого уровня значимости, его достаточности для принятия тех или иных решений.

Ø Разработка математико-статистических моделей, используемых в дальнейшем для оптимального управления процессом или оптимального конструирования объекта и т. д.

Мы кратко на уровне идей рассмотрим оба эти направления, причем первое направление в основном охарактеризовано частично в подразделах 7.2, 7.3 и частично в разделе 8. Методы математического планирования эксперимента позволяют получить математические модели исследуемого процесса в реализованном диапазоне изменения многих факторов, влияющих на функционирование объекта исследования, наиболее экономичным и эффективным способом.

О месте методов математического планирования экспериментов можно получить ясное представление, если рассмотреть общую схему научного экспериментального исследования объекта с недостаточно раскрытым механизмом процессов, происходящих в этом объекте.

Методам экспериментальных исследований посвящен раздел 8. Здесь мы только перечислим основные этапы научного экспериментального исследования объекта или процесса.

 – изучение сведений об исследуемом объекте (процессе, устройстве, системе и др.);

‚ – формулирование систем предпосылок, призванных ограничить объект в пространстве и времени, выделить главные черты объекта, упростить схему взаимодействия элементарных процессов внутри объекта и объекта с окружающей средой;

ƒ – создание модели объекта, которой может быть:

а) сам объект, ограниченный в пространстве и времени, с упрощенной схемой взаимодействия элементарных процессов внутри объекта и объекта с окружающей средой,

б) дубликат объекта, уменьшенный или увеличенный по сравнению с натурным объектом, созданный на основе применения теории подобия;

„ – исследование модели объекта на основе применения наиболее экономичных и эффективных методов математического планирования экспериментов, современных приборов и методик;

… – анализ экспериментальных данных методами математической статистики и формализация этих данных, т. е. создание адекватной математической модели объекта;

† – использование математической модели объекта для дальнейшего его исследования с целью решения поставленных конкретных задач (например, определение оптимальных условий функционирования исследуемого объекта);

‡ – экспериментальная проверка полученного решения;

ˆ – составление отчета по научному исследованию.

Методы математического планирования обеспечивают выполнение на современном научном уровне этапов „, … и †, сокращая одновременно в большой степени трудоемкость и стоимость самого исследования.

Эффективность и экономичность методов математического планирования экспериментов объясняет тот факт, что число публикаций по теоретическим и прикладным вопросам, связанным с развитием и практическим применением методов математического планирования экспериментов, удваивается за 2.5 года, в то время как общее число научных публикаций удваивается приблизительно за 10 лет.

Традиционно измерение параметров как отдельных элементов и узлов радиоаппаратуры, так и достаточно сложных радиосистем осуществляется последовательным определением исследуемых зависимостей при изменении одной величины и постоянстве остальных. Так, изучение функции двух переменных проводится сначала при фиксированном (при этом получают , а затем при фиксированном (измеряют ). Например, при определении вида амплитудной характеристики любого устройства в зависимости от частоты изменяют амплитуду входного гармонического сигнала на определенной фиксированной частоте и регистрируют значение выходного сигнала. Затем измерения повторяют на другой частоте и т. д.

Если в сравнительно простых измерениях c достаточной для практики точностью можно пользоваться традиционными методами, то серьезные экспериментальные исследования с многими изменяющимися параметрами и входными величинами без планирования эксперимента просто невозможны.

Рассмотрим основные определения, сущность и задачи планирования экспериментов. Входные величины объектов исследования могут качественно отличаться друг от друга, например, амплитуда и частота сигнала, входная и выходная проводимости, стабильность питающего напряжения и т. д., поэтому в теории планирования эксперимента входные параметры принято именовать общим названием факторы. В целях упрощения обозначений и вычислений целесообразно пользоваться нормированными переменными:

, где

При такой нормировке получается, что соответствует , а соответственно .

Вправа 7.10

Доведіть, що це дійсно так і є.

Выходные величины также могут быть качественно различными, например, передаточная функция, уровень выходного сигнала или его спектральных составляющих, помехоустойчивость, надежность и т. д. – они получили название отклик (функция цели, параметр оптимизации).

Модель объекта представляет собой аналитическую зависимость отклика от факторов. Чаще всего эта зависимость неизвестна, известными являются факторы и выходные величины отклика . Чаще встречается задача исследования одной выходной величины как функции нескольких факторов:

. (7.18)

Вид этой зависимости определяется из физической сущности, а параметры вычисляются в соответствии с результатами эксперимента. Поэтому такая модель называют также эмпирической. Следует отметить, что модель объекта может быть иногда построена исходя из теоретически обоснованного понимания сущности процессов, происходящих в объекте, например, протекания тока в цепях и активных элементах, выделения спектральных составляющих, образования фазовых сдвигов между входными и выходными параметрами и др. Созданную таким образом модель называют теоретической. Например, работу преобразователя частоты можно описать как выделение отклика суммарной или разностной частоты гармонических составляющих входных факторов при их перемножении.

Планирование эксперимента позволяет решать следующие задачи: исследование механизма физического явления, отыскание экстремума отклика, определение модели объекта и т. п. Исследовать механизм явления означает определить аналитическое выражение

, (7.19)

которое достаточно точно описывало бы неизвестную зависимость (7.18) в пределах области возможных значений факторов , называемую областью определения факторов, или факторным пространством, и обозначаемую . Область определения двух факторов представляет собой часть плоскости в декартовой системы координат и называется д вухфакторным пространством, а эксперимент – двухфакторным экспериментом. Могут быть также одно- и многофакторные эксперименты. Эксперименты, направленные на раскрытие механизма исследуемого явления и определяющие аналитическую зависимость (7.19), называют также интерполяционными или регрессионными. Эксперименты, позволяющие находить экстремум отклика в области его определения , называют экстремальными.

7.4.2. Выбор факторов и определение факторного пространства

Сведения о действующих факторах и факторном пространстве во многом определяют план эксперимента. Начинают планирование эксперимента с определения количества действующих факторов и влияния их на выходную величину , устанавливают зависимость факторов между собой, уточняют, какие из факторов являются управляемыми по заданию экспериментатора, а какие неуправляемыми и, наконец, учитывают точность аппаратуры, используемой для измерения значений факторов и отклика . Как правило, точность измерения факторов должна быть примерно на порядок выше, чем измерение отклика.

Факторы следует определить так, чтобы они были независимыми. Если же между некоторыми из них имеется функциональная, или корреляционная связь, то их следует объединить в один обобщенный фактор.

Наибольшее распространение получили планы экспериментов с двумя уровнями для каждого фактора. В подразделе 7.4.6. мы такие планы подробно рассмотрим.

Важно с самого начала планирования эксперимента определить интервал варьирования факторов, т, е. величины их верхнего и нижнего значений (подробнее см. подраздел 7.4.6.).

Наиболее важным является требование адекватности модели, т. е. аппроксимирующая функция (7.19) должна достаточно точно приближаться к зависимости (7.18). Существуют критерии проверки условия адекватности, применяемые в процессе проведения экспериментов и использующие дисперсионный анализ и другие методы математической статистики.

7.4.3. Регрессионный анализ.

Если каждому значению независимой переменной х соответствует определенное значение , то между ними имеет место детерминированная связь. Если же между и существует связь, но не вполне определенная, так что одному значению соответствует совокупность значений в виде статистического ряда, то такую связь называют регрессионной, или корреляционной, т.е. регрессионные зависимости характеризуются вероятностной связью. Экспериментально установить такую зависимость можно путем выполнения ста­тистических измерений. Модель процесса или объекта в этом случае представляет собой регрессионное выражение (7.19), связывающее факторы с откликом. В теории планирования эксперимента стремятся модели представить в виде конечной суммы степенного ряда. Для одного фактора линейная модель , квадратичная модель , кубическая модель и т.д.

В общем случае для переменных факторов модель второго порядка в виде функции цели (отклика) записывается в -мерном пространстве выражением

, (7.20)

где – независимые факторы; – коэффициенты регрессии, характеризующие влияние фактора на функцию цели; – коэффициенты, характеризующие двойное влияние факторов и на функцию цели. Оценки коэффициентов находят, как правило, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Процедура вычисления коэффициентов регрессии и составляет сущность регрессионного анализа. В подразделе 7.4.5. мы рассмотрим МНК и получим формулы для вычисления коэффициентов регрессии.

7.4.4. Полный факторный эксперимент.

Полным факторным называется такой эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации (наборы) уровней факторов. Варьирование факторов на двух уровнях дает наборов, на трех уровнях составляет наборов и т. д. Если имеется факторов, каждый из которых устанавливается на уровнях, то для реализации полного факторного эксперимента требуется выполнить опытов. Наибольшее распространение получили планы типа , например, двухфакторные и трехфакторные . При резко возрастает количество наборов, а следовательно, и опытов в проводимом эксперименте, поэтому такие планы используются чрезвычайно редко.

Мы здесь упомянули только несколько простых планов. На самом деле их существует очень много.

Мы рассмотрели основные идеи математического планирования экспериментов и интерпретации их результатов. Ясно, что этих знаний недостаточно для грамотного использования их при решении практических задач. В следующих подразделах этого раздела мы на примерах рассмотрим планирование и обработку результатов простых экспериментов. Начнем с самого простого эксперимента.

7.4.5. Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов

7.4.5.1. Формализация экспериментальных данных методом наименьший квадратов.

Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью . Если конкретному значению соответствует единственное значение ,то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке.

Если остается неизменным в то время, как изменяется, то не зависит от .

Если для оценки величин и используются данные наблюдений – величины случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.

Между двумя случайными величинами может существовать так называемая стохастическая связь, при которой с изменением одной величины меняются параметры распределения другой.

К формализации экспериментальных данных, т. е. к построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель процесса из-за недостаточного понимания механизма процессов или их чрезмерной сложности. Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.

Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с учетом числа принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения.

Если по двум точкам (измерениям) получено линейное однофакторное уравнение , то построенная по этому равенству прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, для того чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает одну степень свободы, необходимую для обеспечения корректности процедуры проверки адекватности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых должно превышать число коэффициентов уравнения .

Так как , решение такой системы требует специального подхода, что видно из следующего простейшего пример.

Дата добавления: 2014-11-18