Оценивание неизвестных математических ожиданий и дисперсий

Точечной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности является выборочная средняя. Выборочные средние и вычисляются по формулам:

.

Часто удобно пользоваться формулами

.

В данном случае имеем

Несмещенной оценкой дисперсии σ² генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия s². Значения и будем находить по формулам:

Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая данные первой выборки на 38, а второй выборки
на 40, находим

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а генеральной совокупности необходимо представить а в виде

где – точечная оценка а (среднее выборки); δ – точность оценки. Если выборка малого объема n, то точность оценки δ определяется формулой

.

Здесь s – выборочное среднее квадратическое отклонение;
– квантиль распределения Стьюдента (приложение Г), вычислен­ный при уровне значимости α = 1 – γ и k = n – 1 степеней свободы.

Для старого режима работы А имеем:

Для нового режима работы В:

Следовательно, с надежностью γ = 0,95

,

т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий имеют вид .

Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 41 деталей за смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95% он может изготавливать уже 42 или 43 детали за смену. Видим, что произошло качественное изменение производительности труда.

Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных дисперсий и . Для дисперсии σ², генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид

.

Здесь n – объем выборки; s² – оценка дисперсии σ²; и – квантили распределения Пирсона (приложение Д), вычисленные при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.

Для старого режима работы А:

Для нового режима работы В:

Как видим, доверительные интервалы для генеральных дисперсий и пересекаются. Поэтому с надежностью 95% у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий ( = ). Это означает, что усовершенствование обработки деталей не приводит к повышению эффективности обработки.

Дата добавления: 2014-11-18