Нормальный закон распределения

Тема 7

Блок С

Блок В

Блок А

Задачи для отчета преподавателю

А 6.1. Случайная величина Х задана законом распределения

xi	-3	-1
pi	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найти функцию распределения этой случайной величины и
построить график. Определить аналитически и показать на графике и .

А 6.2. Снайпер стреляет до 1-го попадания. Вероятность промаха при одном выстреле равна р. Найти функцию распределения числа промахов.

А 6.3. Составить функцию распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

А 6.4. Среди поступающих в ОТК приборов 20% имеют отклонения от номинала. Найти функцию распределения числа точно собранных приборов среди 4, поступивших на контроль. Определить вероятность того, что число неточно собранных приборов
будет меньше 3.

А 6.5. Время ожидания троллейбуса распределено равномерно в интервале (0;5). Найти плотность вероятности времени ожидания, функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность
того, что пассажир будет ждать троллейбус не более 3 мин.

А 6.6. Плотность распределения случайной величины Х задана формулой

Построить график . Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал
(-1; 2); в) математическое ожидание этой случайной величины.

А 6.7. Найти плотность вероятности и функцию распределения времени ожидания поезда метрополитена, зная, что оно равномерно распределено в интервале (0; 2). Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

В задачах А 6.8 – А 6.12 непрерывная случайная величина задана интегральной функцией . Требуется найти: а) значение
параметра ; б) дифференциальную функцию ; в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; г) построить графики функций и ; д) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (-1; 4).

А 6.8.

А 6.9.

А 6.10. А 6.11.

А 6.12.

В задачах А 6.13 – А 6.20 величина Х задана функцией

Требуется найти: а) значение параметра ; б) интегральную функцию ; в) и ; г) вероятность того, что 0 < Х < ¹/₃. Построить графики функций и . Принять b равным:

А 6.13. 1/2. А 6.14. 2/3. А 6.15. 3/2. А 6.16. 5/6.

А 6.17. 6/7. А 6.18. 7/8. А 6.19. 9/10. А 6.20. 10/11.

А 6.21. Брошены одновременно 2 игральные кости. Случайная величина Х принимает значение 1, если хотя бы на 1 игральной кости выпадает цифра 6; значение 2, если хотя бы на 1 из граней появилась четная цифра, но не 6; значение 0 – в остальных случаях. Написать функцию распределения этой случайной величины и найти ее математическое ожидание.

А 6.22. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3 шара. Составить функцию распределения случайной величины – числа черных шаров среди взятых. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

А 6.23. Для сборки прибора требуется 4 однотипных деталей. Всего имеется 6 деталей, из которых только 5 доброкачественных. Составить функцию распределения случайной величины – числа доброкачественных деталей среди отобранных 4 деталей. Указать вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора.

А 6.24. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (-3; 3). Ее плотность вероятностей имеет вид, изображенный на рисунке. Найти F (x).

А 6.25. В театральной кассе осталось: 3 билета в драматический театр, 5 билетов в театр комедии, 1 билет в оперный театр и 1 билет в театр эстрады. Приобретение покупателем билета в любой из театров равновозможно. Составить закон распределения и найти функцию распределения числа билетов в драматический театр среди четырех билетов, купленных первыми.

А 6.26. Функция распределения величины Х имеет вид

Найти закон распределения случайной величины X, M (X) и D (X).

А 6.27. Случайная величина Х непрерывного типа может принимать ненулевые значения только на отрезке [-1; 1], причем функция распределения вероятностей имеет на этом отрезке зависимость . Написать выражения функции распределения и плотности вероятностей на этом отрезке.

А 6.28. Случайная величина Х подчиняется закону распреде­ления Парето с параметрами и , если она есть случайная величина непрерывного типа и ее функция распределения
вероятностей имеет вид

Выяснить, при каких значениях параметра a для данного распределения существуют математическое ожидание и дисперсия, и
вычислить их.

А 6.29. Случайная величина Х задана законом распределения

xi
pi	0,2	0,3	0,4	?

Найти: а) вероятность ; б) функцию распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения. Определить аналитически и показать на графике .

А 6.30. Стрелок стреляет по движущейся цели до первого попадания или до израсходования имеющихся 4 патронов. Составить функцию распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

А 6.31. Среди отобранных часов 30% имеют отклонения в точности хода. Составить функцию распределения числа часов, не имеющих отклонений в точности хода среди трех наудачу взятых часов. Определить вероятность того, что количество таких часов не превышает 2.

А 6.32. Пусть случайная величина Х имеет при и при . Найти
плотность случайной величины Y = sin X.

А 6.33. Плотность случайной величины Х при х [-1;1] и f (х) = 0 при х [-1;1]. Найти M (X) и D (X).

А 6.34. Функция распределения случайной величины Х

Найти М (Х) и D (X).

А 6.35. Случайная величина X имеет функцию распределения

Найти математическое ожидание величины

А 6.36. Показать, что функция

является функцией распределения некоторой случайной величины X. Найти вероятность Р (Х > 1) и M (X).

А 6.37. Плотность случайной величины X задана формулой

Найти константу с и М (Х).

А 6.38. Пусть F (х) – функция распределения случайной величины X. Найти функцию распределения случайной величины Y = аХ + b, а > 0.

А 6.39. Пусть величина Х имеет функцию распределения
F (x) = c ₁ arctg x + c ₂. Определить с ₁ и с ₂, найти .

А 6.40. Пусть случайная величина Х имеет плотность . Определить константу с и найти P (| X | < 1).

В 6.1. Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но менее пяти раз.

В 6.2. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, большее 1.

Значение	– 2
Вероятность	0,1	0,5	0,3	0,1

В 6.3. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, меньшее 5.

Значение
Вероятность	0,4	0,2	0,1	0,3

В 6.4. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, не меньшее 1.

Значение
Вероятность	0,5	0,25	0,25

В 6.5. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, большее 0.

Значение	– 4
Вероятность	0,25	0,5	0,25

В 6.6. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, не большее 2.

Значение	-1
Вероятность	0,2	0,3	0,5

В 6.7. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, меньшее 2.

Значение
Вероятность	0,1	0,3	0,6

В 6.8. Случайная величина Х равномерно распределена. Ее плотность вероятности , если и , если и . Определить коэффициент А.

В 6.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности при и , если .

В 6.10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности , если и , если ; , если .

В 6.11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности при и при и .

В 6.12. Случайная величина Х равномерно распределена. Плотность вероятности ее при и при и . Определить ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

В 6.13. Функция при и , если . Найти: а) значение А, при котором эта функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях она ни разу не попадет в интервал (1; 2).

В 6.14. Функция при и , если . Найти: а) функцию распределения этой случайной величины; б) вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (2; 4).

В 6.15. Функция , если и , если . Найти: а) значение А, при котором эта функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины; б) вероятность того, что эта случайная величина примет какое-нибудь значение, большее двух.

В 6.16. Функция , если и , если ; , если . Может ли эта функция быть плотностью вероятности некоторой случайной величины? Если да, то найти вероятность того, что эта случайная величина: а) примет значение из интервала (1; 2); б) в трех независимых испытаниях два раза окажется в интервале (1; 2).

В 6.17. Плотность вероятности случайной величины Х при и при и . Найти ее функцию распределения, построить графики и функции распределения.

В 6.18. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значение из интервала (0,25; 0,75).

В 6.19. Случайная величина Х задана плотностью вероятности в интервале (0; 1), за пределами этого интервала . Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины Х.

С 7 Задан закон распределения случайной величины в виде таблицы. Необходимо:

а) построить многоугольник распределения вероятностей;

б) найти аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график;

в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

С 7.1	X	-2						С 7.2	X	-1
P	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1		P	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

С 7.3	X							С 7.4	X	-2
P	0,1	0,2	0,1	0,4	0,2		P	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

С 7.5	X							С 7.6	X	-3
P	0,1	0,3	0,1	0,4	0,1		P	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

С 7.7	X							С 7.8	X
P	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1		P	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1

С 7.9	X							С 7.10	X	-2
P	0,1	0,3	0,1	0,4	0,1		P	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1

С 7.11	X							С 7.12	X	-3	-1
P	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2		P	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

С 7.13	X	-3						С 7.14	X
P	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1		P	0,3	0,1	0,4	0,1	0,1

С 7.15	X							С 7.16	X	-4	-1
P	0,1	0,3	0,4	0,1	0,1		P	0,2	0,1	0,3	0,1	0,3

С 7.17	X	-5						С 7.18	X
P	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2		P	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2

С 7.19	X							С 7.20	X	-5	-2
P	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1		P	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1

С 7.21	X	-3						С 7.22	X
P	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1		P	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

С 7.23	X							С 7.24	X	-2
P	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2		P	0,2	0,1	0,3	0,3	0,1

С 7.25	X	-3						С 7.26	X
P	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1		P	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

С 7.27	X	-6	-3					С 7.28	X	-3
P	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2		P	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2

С 7.29	X							С 7.30	X	-4	-1
P	0,2	0,2	0,1	0,2	0,3		P	0,3	0,1	0,1	0,3	0,2

С 8 Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Необходимо найти:

а) вероятность попадания случайной величины в интервал ;
б) плотность распределения случайной величины ;

в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

Построить графики функций и .

С 8.1 С 8.2

С 8.3

С 8.4

С 8.5

С 8.6

С 8.7

С 8.8

С 8.9

С 8.10

С 8.11

С 8.12

С 8.13

С 8.14

С 8.15

С 8.16

С 8.17

С 8.18

С 8.19

С 8.20

С 8.21

С 8.22

С 8.23

С 8.24

С 8.25

С 8.26

С 8.27

С 8.28

С 8.29

С 8.30

Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность f (х) имеет вид

.

Здесь . В этом случае пишут X ~ N , где – среднее квадратическое отклонение.

Дата добавления: 2014-11-18