Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства плотности вероятностей





f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной:

для любого .

▲ Поскольку функция распределения является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.

f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:

- условие нормировки.

▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством F2) функции распределения ■.

f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых

. (2.6)

▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения , то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):

■.

Следствие. Для непрерывной случайной величины

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).

Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.

 

 

2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины

1. Равномерная случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть .

Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:

и для нее используется сокращенное обозначение: .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим три случая:

а) если , то ;

б) если ,то ;

в) если , то .

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:



Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение: .

Проверим условие нормировки:

при любом .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим два случая:

а) если , то ;

в) если , то .

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

 

 

 

3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

.

Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:

.

Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке .

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что - интеграл Пуассона).

В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом.

Если параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины.

Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении плотность вероятностей становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба.

Также параметр характеризует степень разброса значений случайной величины около среднего значения а в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированном вероятность вида , как площадь под плотностью вероятностей или, другими словами, тем при меньшем можно получить заданную вероятность вида . Это означает, что при уменьшении значения случайной величины более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше.

Если и , то нормальный закон распределения называется стандартным, его плотность вероятностей имеет вид:

и называется функцией Гаусса.

Функция распределения случайной величины имеет вид:

и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).

 

 

Геометрическая иллюстрация.

Свойства функции Лапласа :

1. ;

2. для .

Значения функции Лапласа для табулированы.

Функция распределения случайной величины также выражается через функцию Лапласа :

.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле:

.

Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания случайной величины в интервал длины , симметричный относительно точки :

.

Далее, если положить и учесть, что , то получаем:

.

Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения случайной величины находятся внутри интервала в том смысле, что вероятность случайной величине принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ( ).

Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма».

Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

.

Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:



.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:

       
   
 
 


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 1580; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.