Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функцій





Теорема 10.5. Нехай функції і ізнеперервні і диференційовані при всіх з деякого околу точки а, в якому , і нехай і . Тоді якщо існує границя

, (10.5)

то існує границя і справедлива рівність

. (10.6)

Доведення. В розглядуваному околі точки а виберемо два значення аргументу і х таких, що ( ). Тоді з теореми Коші слідує

,

де або .

Зробимо тотожні перетворення в останній рівності:

або

. (10.7)

В (10.7) зафіксуємо і перейдемо до границі при :

(10.8)

Права частина рівності (10.8) дає:

. (10.9)

Таким чином, із (10.8), (10.9) отримуємо

. (10.10)

Права частина (10.10) є функцією значення с , яке залежить від вибору числа . Перейдемо в останній рівності до границі при . Так як при цьому, очевидно, , а ліва частина від не залежить, то отримаємо

.

Таким чином теорему доведено

Наслідок 10.5.1. Рівність (10.6) справедлива і у випадку, коли .

Дійсно, тоді і з останньої теореми слідує, що

або

Наслідок 10.5.2. Доведена теорема легко поширюється на випадок .

Це слідує з наслідку 10.4.3

Приклад 10.5.

.

Приклад 10.6.

.

За допомогою двох останніх теорем можна також розкривати невизначеності типу .

Приклад 10.7. Знайти границю

.

Розв’язування. Нехай

,

тоді

.

Таким чином, або і .

 

10.6.Формули Тейлора і Маклорена.

Припустимо, що в деякому околі точки а функція має всі похідні до (n+1)-го порядку. Знайдемо такий многочлен , який в точці набуває значення , а всі його похідні до n-го порядку в цій точці рівні значенням відповідних похідних функції , тобто

(10.11)

Многочлен будемо шукати у вигляді многочлена за степенями двочлена х-а:

. (10.12)

Коефіцієнти С0 , С1 , С2 , ..., Сn треба підібрати такими, щоб виконувалась умова (10.11).

Знайдемо похідні многочлена :

(10.13)

З (10.11)–(10.13) маємо:

або

(10.14)

Підставивши (10.14) в (10.12), отримаємо

Нехай – різниця між значеннями заданої функції і многочлена , тобто , тоді



. (10.15)

Означення 10.1. Функція називається залишковимчленом.

Проведемо оцінку залишкового члена. Для цього представимо його у вигляді

, (10.16)

де – невідома функція, яку потрібно знайти.

Підставимо (10.16) в (10.15)

, (10.17)

і розглянемо допоміжну функцію :

, (10.18)

де t лежить в проміжку між а і х.

Знайдемо :

або після скорочення

. (10.19)

Таким чином, з рівностей (10.17)–(10.19) слідує, що функція неперервна і диференційована на або та , тобто для даної функції справедлива теорема Ролля: , де z розміщене між а і х. З (10.19) отримуємо, що

і залишковий член можна подати у вигляді

,

який називають формою Лагранжа для залишкового члена.

Іколи застосовують запис , де , і залишковий член набирає вигляду

.

Таким чином, ми отримали формулу

, (10.20)

яка називається формулою Лагранжа для функції .

Частинний випадок формули (10.20) при , тобто

(10.21)

називається формулою Маклорена.

 

10.7.Розклад за формулою Маклорена функцій

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 285; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.045 сек.