Величин. Правило Лопіталя

Теорема про відношення двох приростів.

Теорема 10.3 (Коші). Якщо виконуються умови:

а) і неперервні на відрізку ;

б) і диференційовані на інтервалі ;

в) на ,

то існує хоча б одна точка така, що

.

Доведення. З умови в) випливає, що , оскільки при для функції виконувалися б усі умови теореми Ролля, тобто існувала б точка така, що .

Розглянемо допоміжну функцію :

,

де

.

Для неї виконуються всі умови теореми Ролля: вона неперервна і диференційована як сума неперервних і диференційованих функцій та

і

.

Таким чином, існує хоча б одна точка така, що . Але

,

тому

,

тобто

або .

Теорему доведено

10.4. Границя відношення двох нескінченно малих

Теорема 10.4. Якщо функції і на деякому відрізку задовольняють умови теореми Коші і , то з існування границі випливає існування границі , і дві останні рівні, тобто

. (10.3)

Рівність (10.3) називається правилом Лопіталя.

Доведення. Розглянемо точку і на відрізку запишемо теорему Коші:

,

де . За умовою теореми , тому остання рівність дає

. (10.4)

Перейдемо в рівності (10.4) до границі при . Оскільки , то при . Таким чином,

.

Теорема доведена

Наслідок 10.4.1. Попередня теорема має місце й у випадку, коли функції і не визначені в точці х=а, але

і .

Досить довизначити функції і в точці , так щоб вони були неперервні, тобто

Наслідок 10.4.2. задовольняють

Наслідок 10.4.3. Правило Лопіталя справедливе й у випадку , тобто коли ,

.

Дійсно, нехай , тоді при і

.

Застосувавши правило Лопіталя до відношення , отримаємо

Приклад 10.1.

.

Приклад 10.2.

.

Приклад 10.3.

.

Приклад 10.4.

.

10.5. Границя відношення двох нескінченно великих

Дата добавления: 2014-11-18