ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІ ФУНКЦІЇ

Розділ 10. ДЕЯКІ ТЕОРЕМИ ПРО

10.1.Теорема про корені похідної.

Теорема 10.1 (Ролля). Якщо функція задовольняє умови:

а) неперервна на відрізку ;

б) диференційована на інтервалі ;

в) ,

то існує хоча б одна точка така, що .

Доведення. З умови а) та теореми 5.2 випливає, що на відрізку функція набуває свого найбільшого М та найменшого m значень. Якщо m=M, то f(x) стала, тобто для будь-якого , і . Отже, теорему доведено.

Припустимо, що . Тоді хоча б одне з чисел m або M відмінне від нуля. Нехай М>0 і функція набуває свого найбільшого значення при х=с, тобто . З умови в) виходить, що і .

Оскільки – найбільше значення функції, то як при , так і при . Таким чином,

, при ; (10.1)

, при . (10.2)

Перейдемо в (10.1), (10.2) до границі при з урахуванням умови б) нашої теореми і теореми 3.10:

при ;

при .

Але співвідношення і сумісні тільки при , тобто теорему доведено

Наслідок 10.1. Попередня теорема справедлива і у випадку, коли умову в) замінити на – .

Дійсно, тепер для функції виконуватимуться всі умови теореми Ролля, а значить, існує точка така, що

Геометричний зміст теореми Ролля показано на рис.10.1. Якщо лінія в кожній точці інтервалу має дотичну і на кінцях цього інтервалу набуває однакових значень, то в середині цього відрізка існує хоча б одна точка с, в якій дотична паралельна осі ОХ.

10.2.Теорема про скінченні прирости.

Теорема 10.2 (Лагранжа). Якщо функція задовольняє умови:

а) неперервна на відрізку ;

б) диференційована на інтервалі ,

то існує хоча б одна точка така, що

або .

Доведення. Нехай

.

Розглянемо допоміжну функцію :

.

Вона задовольняє всі умови теореми Ролля. Справді, – неперервна і диференційована як сума неперервних й диференційованих функцій та

Таким чином, існує точка така, що . Але

,

тому

або

.

Теорему доведено

Геометричне тлумачення теореми Лагранжа показане на рис. 10.2. Якщо лінія неперервна і в кожній точці інтервалу має дотичну, то існує хоча б одна точка така, що дотична в ній паралельна хорді, проведеній через точки і .