Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІ ФУНКЦІЇ





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Розділ 10. ДЕЯКІ ТЕОРЕМИ ПРО

 

10.1.Теорема про корені похідної.

Теорема 10.1 (Ролля). Якщо функція задовольняє умови:

а) неперервна на відрізку ;

б) диференційована на інтервалі ;

в) ,

то існує хоча б одна точка така, що .

Доведення. З умови а) та теореми 5.2 випливає, що на відрізку функція набуває свого найбільшого М та найменшого m значень. Якщо m=M, то f(x) стала, тобто для будь-якого , і . Отже, теорему доведено.

Припустимо, що . Тоді хоча б одне з чисел m або M відмінне від нуля. Нехай М>0 і функція набуває свого найбільшого значення при х=с, тобто . З умови в) виходить, що і .

Оскільки – найбільше значення функції, то як при , так і при . Таким чином,

, при ; (10.1)

, при . (10.2)

Перейдемо в (10.1), (10.2) до границі при з урахуванням умови б) нашої теореми і теореми 3.10:

при ;

при .

Але співвідношення і сумісні тільки при , тобто теорему доведено

Наслідок 10.1. Попередня теорема справедлива і у випадку, коли умову в) замінити на .

Дійсно, тепер для функції виконуватимуться всі умови теореми Ролля, а значить, існує точка така, що

Геометричний зміст теореми Ролля показано на рис.10.1. Якщо лінія в кожній точці інтервалу має дотичну і на кінцях цього інтервалу набуває однакових значень, то в середині цього відрізка існує хоча б одна точка с, в якій дотична паралельна осі ОХ.

 

10.2.Теорема про скінченні прирости.

Теорема 10.2 (Лагранжа). Якщо функція задовольняє умови:

а) неперервна на відрізку ;

б) диференційована на інтервалі ,

то існує хоча б одна точка така, що

або .

Доведення. Нехай

.

Розглянемо допоміжну функцію :

.

Вона задовольняє всі умови теореми Ролля. Справді, – неперервна і диференційована як сума неперервних й диференційованих функцій та

Таким чином, існує точка така, що . Але

,

тому

або

.

Теорему доведено

Геометричне тлумачення теореми Лагранжа показане на рис. 10.2. Якщо лінія неперервна і в кожній точці інтервалу має дотичну, то існує хоча б одна точка така, що дотична в ній паралельна хорді, проведеній через точки і .



 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 710; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.